Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2024

Média, mediana e moda em lista unimodal

Gabarito: letra E — o maior valor possível para a média é 8,166..., que está entre 8,1 e 8,2. Para maximizar a média, devemos maximizar a soma dos 6 números, respeitando as condições: mediana 8, maior valor 11 (que também é a moda).

Vamos entender o problema. Temos uma lista de 6 números (n par). A mediana é a média aritmética dos dois termos centrais quando ordenados. Se a mediana é 8, então a soma dos dois termos centrais é 16. O maior valor é 11, e ele é a moda, ou seja, o valor que mais se repete. Como 11 é o maior valor, ele deve aparecer pelo menos duas vezes para ser a moda (se aparecesse apenas uma vez, não seria o valor mais frequente, a menos que todos os valores fossem distintos, mas aí não haveria moda).

Para maximizar a média, queremos que os outros números sejam os maiores possíveis, mas respeitando a ordem e a condição de moda. Vamos ordenar a lista: $a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le a_6$. Sabemos que $a_6 = 11$ e que $a_3 + a_4 = 16$ (pois a mediana é 8). Para maximizar a soma, devemos maximizar $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Como $a_6 = 11$ é a moda, ele deve aparecer pelo menos duas vezes, então $a_5 = 11$ também. Assim, $a_3 + a_4 = 16$ e $a_4 \le a_5 = 11$. Para maximizar $a_3$ e $a_4$, queremos que sejam os maiores possíveis, mas $a_3 \le a_4$. O maior valor para $a_4$ é 11, mas se $a_4 = 11$, então $a_3 = 5$ (pois $a_3 + a_4 = 16$). Isso é possível, pois $a_3 = 5 \le a_4 = 11$. Agora, $a_1$ e $a_2$ devem ser menores ou iguais a $a_3 = 5$. Para maximizar a soma, fazemos $a_1 = a_2 = 5$. Mas cuidado: se $a_1 = a_2 = a_3 = 5$, então o valor 5 aparece três vezes, e 11 aparece duas vezes, então a moda seria 5, não 11. Isso viola a condição de que 11 é a moda. Portanto, não podemos ter três números iguais a 5. Precisamos que 11 seja o valor mais frequente. Como 11 já aparece duas vezes (em $a_5$ e $a_6$), nenhum outro valor pode aparecer mais de uma vez. Assim, $a_1, a_2, a_3$ devem ser todos distintos entre si e diferentes de 5? Na verdade, $a_3$ pode ser 5, mas $a_1$ e $a_2$ devem ser diferentes de 5 e diferentes entre si, para que 5 não se repita. Para maximizar a soma, escolhemos os maiores valores possíveis menores que 5: $a_1 = 3$ e $a_2 = 4$ (ou $a_1 = 4$ e $a_2 = 3$, tanto faz). Mas também precisamos que $a_3$ seja o maior possível, então $a_3 = 5$. Assim, a lista fica: 3, 4, 5, 11, 11, 11? Não, $a_4 = 11$ e $a_5 = 11$, $a_6 = 11$? Mas o maior valor é 11, e ele é a moda, então pode aparecer mais de duas vezes. Na verdade, se 11 aparecer três vezes, ainda é a moda. Mas será que podemos ter $a_4 = 11$? Sim, pois $a_3 + a_4 = 16$, então $a_3 = 5$. E $a_5 = 11$, $a_6 = 11$. Então a lista seria 3, 4, 5, 11, 11, 11. Mas aí a moda é 11 (aparece 3 vezes), e a mediana é (5+11)/2 = 8, ok. Mas será que podemos aumentar mais a soma? Poderíamos tentar $a_4 = 10$ e $a_3 = 6$, mas aí $a_5 = 11$ e $a_6 = 11$, e $a_1, a_2$ menores que 6, mas para maximizar, $a_1 = 5, a_2 = 5$? Mas aí 5 aparece duas vezes, e 11 aparece duas vezes, então teríamos duas modas (bimodal), o que contraria "11 é a moda" (implicando moda única). Então não podemos ter empate. Portanto, a melhor configuração é 3, 4, 5, 11, 11, 11, com soma = 3+4+5+11+11+11 = 45. Média = 45/6 = 7,5. Isso não bate com o gabarito (8,16). Precisamos repensar.

Na verdade, a moda ser 11 não impede que outros valores se repitam, desde que 11 seja o mais frequente. Se 11 aparece duas vezes, nenhum outro valor pode aparecer duas vezes. Mas podemos ter valores distintos. Para maximizar a soma, queremos que os quatro primeiros números sejam os maiores possíveis, mas respeitando $a_3 + a_4 = 16$ e $a_4 \le 11$. O maior valor para $a_4$ é 11, então $a_3 = 5$. Para $a_1$ e $a_2$, queremos os maiores possíveis menores que 5, mas distintos entre si e diferentes de 5, para não criar outra moda. Os maiores são 4 e 3. Então a lista é 3, 4, 5, 11, 11, 11? Mas aí 11 aparece três vezes, e 5, 4, 3 aparecem uma vez cada. Isso é válido: moda = 11 (freq 3), mediana = (5+11)/2 = 8. Soma = 3+4+5+11+11+11 = 45, média = 7,5. Mas o gabarito diz 8,16. Onde errei?

Ah! O enunciado diz "o maior valor é 11, que também é a moda". Isso significa que 11 é o maior valor E é a moda. Mas não diz que é a única moda. Porém, se houvesse outra moda, o valor 11 ainda seria uma moda. Mas a questão pede o maior valor possível para a média. Talvez possamos ter valores maiores que 5 para $a_3$? Se $a_4 = 10$, então $a_3 = 6$. Aí $a_5 = 11$, $a_6 = 11$. Para $a_1$ e $a_2$, queremos os maiores possíveis menores que 6, mas distintos entre si e diferentes de 6, e também não podem ser 10 ou 11. Os maiores são 5 e 4. Mas 5 aparece uma vez, 4 uma vez, 6 uma vez, 10 uma vez, 11 duas vezes. Moda = 11 (freq 2), ok. Soma = 4+5+6+10+11+11 = 47, média = 47/6 ≈ 7,833. Ainda não chega a 8,16.

Talvez possamos ter $a_4 = 11$ e $a_3 = 5$, mas $a_1$ e $a_2$ podem ser 5 e 4? Mas aí 5 aparece duas vezes (em $a_1$ e $a_3$), e 11 aparece duas vezes, então teríamos duas modas (5 e 11), o que contraria "11 é a moda" se interpretarmos como moda única. Mas a questão não diz "a moda é 11", diz "11 também é a moda", o que pode permitir múltiplas modas. Porém, para maximizar a média, talvez seja melhor ter 11 aparecendo mais vezes. Se 11 aparecer 3 vezes, podemos ter $a_4 = 11$, $a_5 = 11$, $a_6 = 11$, e aí $a_3 = 5$ (pois $a_3 + a_4 = 16$). Para $a_1$ e $a_2$, queremos os maiores possíveis, mas se escolhermos 5 e 4, teremos 5 aparecendo duas vezes (em $a_1$ e $a_3$) e 11 três vezes, então moda = 11, ok. Soma = 4+5+5+11+11+11 = 47, média = 7,833. Se escolhermos 5 e 5, aí 5 aparece três vezes, empatando com 11, o que daria duas modas, mas ainda assim 11 é uma moda. Mas será que podemos ter $a_1 = 5, a_2 = 5, a_3 = 5$? Aí 5 aparece três vezes, e 11 três vezes, modas 5 e 11. A questão diz "11 também é a moda", então isso é permitido? Se for, a soma seria 5+5+5+11+11+11 = 48, média = 8,0. Ainda não 8,16.

Talvez a interpretação correta seja que 11 é a moda única, e que os outros números devem ser todos distintos. Para maximizar a soma, queremos os maiores valores possíveis, mas com $a_3 + a_4 = 16$ e $a_4 \le 11$. O maior $a_4$ é 11, então $a_3 = 5$. Para $a_1$ e $a_2$, os maiores valores distintos menores que 5 são 4 e 3. Mas também poderíamos ter $a_1 = 5$? Não, pois aí 5 se repetiria. Então a lista é 3, 4, 5, 11, 11, 11? Mas aí 11 aparece três vezes, e 5,4,3 uma vez cada. Isso é válido, moda = 11. Soma = 45, média = 7,5. Mas o gabarito é 8,16. Então deve haver outra configuração.

Vamos pensar diferente: a mediana é 8, então a soma dos dois centrais é 16. Para maximizar a média, queremos que os dois centrais sejam os maiores possíveis, mas um deles é o maior valor? Não, o maior valor é 11, que pode estar entre os centrais ou não. Se $a_4 = 11$, então $a_3 = 5$. Mas poderíamos ter $a_4 = 10$ e $a_3 = 6$, e $a_5 = 11$, $a_6 = 11$. Aí a soma dos centrais é 16, ok. Para $a_1$ e $a_2$, queremos os maiores possíveis, mas distintos e menores que 6. Os maiores são 5 e 4. Mas 5 aparece uma vez, 4 uma vez, 6 uma vez, 10 uma vez, 11 duas vezes. Moda = 11. Soma = 4+5+6+10+11+11 = 47, média = 7,833. Se $a_4 = 9$, $a_3 = 7$, $a_5 = 11$, $a_6 = 11$, $a_1 = 6, a_2 = 5$? Mas 6 e 5 são menores que 7, ok. Soma = 5+6+7+9+11+11 = 49, média = 8,166... Isso! 49/6 = 8,1666... que está entre 8,1 e 8,2. Vamos verificar as condições: lista ordenada: 5, 6, 7, 9, 11, 11. Mediana = (7+9)/2 = 8. Maior valor = 11, moda = 11 (aparece duas vezes, e nenhum outro valor se repete). Perfeito! Então a soma máxima é 49, média = 49/6 ≈ 8,1667.

Por que não podemos ter $a_4 = 10$ e $a_3 = 6$? Porque aí $a_1$ e $a_2$ seriam no máximo 5 e 4, soma = 4+5+6+10+11+11 = 47. Com $a_4 = 9$, $a_3 = 7$, podemos ter $a_1 = 6, a_2 = 5$, soma = 5+6+7+9+11+11 = 49. Com $a_4 = 8$, $a_3 = 8$, mas aí 8 se repete, e 11 se repete, mas 8 aparece duas vezes, então teríamos duas modas (8 e 11), o que contraria a ideia de moda única. Além disso, $a_1$ e $a_2$ seriam no máximo 7 e 6, soma = 6+7+8+8+11+11 = 51, média = 8,5, mas aí a moda não é única. Se a questão permitisse múltiplas modas, a média poderia ser maior, mas o gabarito é 8,16, então a interpretação é moda única.

Portanto, a configuração que maximiza a média é 5, 6, 7, 9, 11, 11, com média 49/6 = 8,166..., que está entre 8,1 e 8,2, ou seja, alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a média está entre 7,7 e 7,8. Isso corresponderia a uma soma entre 46,2 e 46,8, mas a soma máxima possível é 49, então a média máxima é maior que 8,1. Essa alternativa subestima o valor máximo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Intervalo entre 7,8 e 7,9, soma entre 46,8 e 47,4. Ainda abaixo do máximo de 49.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Intervalo entre 7,9 e 8,0, soma entre 47,4 e 48,0. Ainda abaixo de 49.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Intervalo entre 8,0 e 8,1, soma entre 48,0 e 48,6. A soma máxima é 49, que dá média 8,166..., portanto acima de 8,1.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média máxima é 49/6 = 8,166..., que está entre 8,1 e 8,2. A configuração que atinge esse valor é a lista 5, 6, 7, 9, 11, 11, que satisfaz todas as condições: mediana 8, maior valor 11 e moda 11 (única).

Gabarito: letra E