Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 9.920,00 (alternativa B).

A ideia por trás

Quando uma quantia é dividida em partes inversamente proporcionais a certos números, quem recebe o maior número fica com a menor parte. Matematicamente, as partes são proporcionais aos inversos desses números: se as partes de Ana, Bia e Cida são a, b e c, e os números são 2, 3 e 5, então a/(1/2) = b/(1/3) = c/(1/5) = k, o que equivale a 2a = 3b = 5c = k. Isso significa que a = k/2, b = k/3 e c = k/5, e o total é a + b + c. A condição da doação (Bia fica com b + c, que é R$ 320 a mais que a) fornece uma equação que permite achar k e, com ele, o total.

O que a questão dá

• partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5

• Cida deu tudo para Bia

• Bia ficou com R$ 320,00 a mais que Ana

O que queremos: a quantia total repartida entre Ana, Bia e Cida

Passo 1 — Escrever as partes em função de k

Para trabalhar com a proporção, precisamos expressar cada parte em termos de um mesmo valor k. Como as partes são inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, temos 2a = 3b = 5c = k, então a = k/2, b = k/3 e c = k/5.

Por que esta fórmula: A relação 2a = 3b = 5c = k vem de que as partes são inversamente proporcionais: a é proporcional a 1/2, b a 1/3, c a 1/5. Igualando a um mesmo k, obtemos essa forma.

De onde vem cada valor: $k$ = constante de proporcionalidade (a determinar) · $a$ = parte de Ana · $b$ = parte de Bia · $c$ = parte de Cida

Passo 2 — Montar a equação da doação

O enunciado diz que Cida deu tudo para Bia, então Bia fica com b + c. Essa quantia é R$ 320 a mais que Ana (que continua com a). Isso nos dá uma equação que relaciona as partes.

Por que esta fórmula: A condição 'Bia ficou com R$ 320 a mais que Ana' traduz-se em b + c = a + 320.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $a$ = passo 1 · $320$ = enunciado: R$ 320,00 a mais

Passo 3 — Eliminar os denominadores

Para resolver a equação com frações, multiplicamos todos os termos pelo MMC dos denominadores (2, 3 e 5), que é 30. Isso simplifica a equação.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 30 elimina as frações, pois 30 é múltiplo de 2, 3 e 5.

De onde vem cada valor: $30$ = MMC de 2, 3 e 5 · $k$ = passo 1 · $320$ = passo 2

Passo 4 — Isolar k

Com a equação simplificada, precisamos encontrar o valor de k, que é a constante de proporcionalidade. Isso nos permitirá calcular cada parte.

Por que esta fórmula: A equação 16k = 15k + 9600 é linear; subtraímos 15k de ambos os lados para isolar k.

De onde vem cada valor: $16k$ = passo 3: 10k + 6k · $15k$ = passo 3: 15k · $9600$ = passo 3: 30 * 320

Passo 5 — Calcular cada parte

Com k conhecido, calculamos as partes de Ana, Bia e Cida usando as expressões do passo 1.

Por que esta fórmula: Substituímos k = 9600 em a = k/2, b = k/3 e c = k/5.

De onde vem cada valor: $9600$ = passo 4 · $2, 3, 5$ = enunciado: números dados

a = 4800, b = 3200, c = 1920

Passo 6 — Somar as partes

A quantia total repartida é a soma das três partes. Somamos os valores obtidos.

Por que esta fórmula: O total é a + b + c.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 5: 4800 · $b$ = passo 5: 3200 · $c$ = passo 5: 1920

Resposta: R$ 9.920,00 (alternativa B)