Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2024

Distribuição Normal: propriedades fundamentais

Gabarito: letra E. As três afirmativas estão corretas: a padronização $Z = (X - \mu)/\sigma$ gera uma normal com média 0 e variância 1 (I); o intervalo $\mu \pm 2\sigma$ concentra aproximadamente 95% da probabilidade (II); e, por simetria, $P[X < \mu] = 0{,}5$ (III). Essas são propriedades clássicas da distribuição normal, amplamente cobradas em estatística descritiva e probabilidade.

A distribuição normal é a mais importante das distribuições contínuas. Ela é definida por dois parâmetros: a média $\mu$ (que determina o centro da curva) e a variância $\sigma^2$ (que determina a dispersão). A curva é simétrica em torno da média, em formato de sino, e a área total sob a curva é igual a 1 — por isso, a probabilidade de um intervalo é exatamente a área sob a curva naquele intervalo.

A padronização (ou normalização) é uma transformação linear que converte qualquer normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ em uma normal padrão $Z \sim N(0,1)$. Essa transformação é essencial porque permite usar uma única tabela de probabilidades para qualquer distribuição normal. A regra empírica (ou regra 68-95-99,7) resume as probabilidades nos intervalos de 1, 2 e 3 desvios-padrão em torno da média — é dela que vem o valor aproximado de 95% para $\mu \pm 2\sigma$.

A pegadinha da banca aqui é sutil: a afirmativa II usa "aproximadamente igual a 95%", e o candidato pode achar que o valor exato é 95,45% (que é o valor real para $\pm 2\sigma$). Mas a banca pede apenas uma aproximação, e 95% é a aproximação consagrada pela regra empírica. Além disso, a afirmativa III explora a simetria da normal: como a média é também a mediana, exatamente metade da probabilidade está abaixo dela.

Item I — ✅ Correto

A padronização $Z = (X - \mu)/\sigma$ é uma transformação linear de $X$. Se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, então $Z$ tem distribuição normal com média $E(Z) = (E(X) - \mu)/\sigma = 0$ e variância $Var(Z) = Var(X)/\sigma^2 = 1$. Portanto, $Z \sim N(0,1)$, a normal padrão. A afirmativa está correta.

Item II — ✅ Correto

Pela regra empírica da distribuição normal, o intervalo $\mu \pm 2\sigma$ contém aproximadamente 95% da probabilidade. O valor exato é 95,45%, mas a aproximação de 95% é amplamente utilizada e aceita. A afirmativa está correta.

Item III — ✅ Correto

A distribuição normal é simétrica em torno da média $\mu$. Isso significa que a probabilidade de $X$ ser menor que $\mu$ é exatamente igual à probabilidade de $X$ ser maior que $\mu$, e ambas somam 1. Portanto, $P[X < \mu] = 0{,}5$. A afirmativa está correta.

Gabarito: letra E — corretos os itens I, II e III.