Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg096620

Distribuição Binomial: probabilidade de exatamente k sucessos

Gabarito: letra B. A probabilidade de exatamente 2 pessoas, em 5 sorteadas com reposição, sofrerem do mal é dada pela distribuição binomial com $n=5$ , $p=0{,}5$ e $k=2$ : $P(X=2) = C_{5,2} \cdot (0{,}5)^2 \cdot (0{,}5)^3 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125 \approx 0{,}31$ .

A questão é um clássico de distribuição binomial: temos um experimento com dois resultados possíveis (sofrer do mal ou não), probabilidade de sucesso constante $p=0{,}5$ , e um número fixo de tentativas independentes ( $n=5$ ). O sorteio com reposição garante a independência entre as escolhas — cada pessoa é sorteada da população inteira, então a probabilidade de "sucesso" não muda a cada extração. Se fosse sem reposição, a independência se perderia e o modelo correto seria a hipergeométrica (que exige conhecer o tamanho da população).

A fórmula da binomial é:

P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

onde $C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ — ou seja, de quantas maneiras podemos escolher quais 2 das 5 pessoas serão as que sofrem do mal.

Aplicando os valores:

$n = 5$ (tamanho do grupo)
$k = 2$ (número de pessoas que sofrem do mal)
$p = 0{,}5$ (probabilidade de uma pessoa sofrer do mal)
$1-p = 0{,}5$ (probabilidade de não sofrer)

P(X=2) = C_{5,2} \cdot (0{,}5)^2 \cdot (0{,}5)^3 = 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}125 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125

Arredondando para duas casas decimais, temos 0,31.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre com reposição (binomial) e sem reposição (hipergeométrica). Como o enunciado diz explicitamente "com reposição", a independência está garantida e a binomial é o modelo correto. Se fosse sem reposição, a probabilidade mudaria — mas, para populações muito grandes, a diferença seria pequena. Fique atento a essa palavra-chave: ela decide o modelo!

1Identificar n, k e p
2Calcular C(n,k)
3Calcular p^k e (1-p)^(n-k)
4Multiplicar os fatores

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Alternativa A — ❌ Incorreta

0,26 é o resultado que se obteria se você esquecesse o coeficiente binomial e calculasse apenas $p^k \cdot (1-p)^{n-k} = 0{,}03125$ — ou se usasse $C_{5,2}$ errado. O valor correto é 0,3125, não 0,26.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado: $P(X=2) = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125 \approx 0{,}31$ . É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,36 não corresponde a nenhum cálculo direto da binomial com $p=0{,}5$ . Talvez o candidato tenha usado $p=0{,}6$ ou $p=0{,}4$ por engano, ou tenha errado a potência. Com $p=0{,}5$ , o valor é sempre 0,3125.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,41 também não é resultado de nenhuma combinação correta. Pode vir de um erro de arredondamento grosseiro ou de usar $C_{5,2}=20$ (que seria arranjo, não combinação).

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,46 é outro distrator sem base. O valor máximo possível para $P(X=2)$ com $n=5$ e $p=0{,}5$ é 0,3125 — qualquer valor acima disso já indica erro de cálculo.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de binomial, monte a fórmula passo a passo: (1) identifique $n$ , $k$ e $p$ ; (2) calcule $C_{n,k}$ ; (3) calcule $p^k$ e $(1-p)^{n-k}$ ; (4) multiplique tudo. Com $p=0{,}5$ , as potências são simples: $(0{,}5)^2=0{,}25$ e $(0{,}5)^3=0{,}125$ . Treine com $n$ pequenos para ganhar velocidade.

Gabarito: letra B