Questão de Estatística — Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação) — FGV 2024

Variância amostral: cálculo passo a passo

Gabarito: letra A. A variância amostral das idades {20, 21, 19, 20, 20} é 0,50, pois a média é 20, a soma dos quadrados dos desvios é 2 e, dividindo por n−1 = 4, obtemos 2/4 = 0,50. A fórmula aplicada é a da variância amostral: $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.

A variância é a medida de dispersão que calcula a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. Ela é sempre não negativa e, quanto maior, mais dispersos estão os dados. A diferença crucial entre variância populacional e amostral está no denominador: a populacional divide por n, enquanto a amostral divide por n−1 (correção de Bessel), o que torna a estimativa amostral não viciada para a variância populacional. Essa distinção é clássica em provas e é exatamente o que a questão explora.

Vamos ao cálculo:

1. Média amostral: $\bar{x} = \frac{20+21+19+20+20}{5} = \frac{100}{5} = 20$

2. Desvios em relação à média: (20−20)=0, (21−20)=1, (19−20)=−1, (20−20)=0, (20−20)=0

3. Quadrados dos desvios: 0²=0, 1²=1, (−1)²=1, 0²=0, 0²=0

4. Soma dos quadrados dos desvios: 0+1+1+0+0 = 2

5. Variância amostral: $s^2 = \frac{2}{5-1} = \frac{2}{4} = 0,50$

A pegadinha da banca está em usar o denominador n (5) em vez de n−1 (4). Se o candidato dividisse por 5, obteria 2/5 = 0,40, que não está entre as alternativas — mas a banca colocou valores próximos (0,56; 0,60; 0,62; 0,64) para confundir quem erra o denominador ou comete erro de aritmética. A alternativa correta é a única que corresponde exatamente ao cálculo com n−1.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula da variância amostral com denominador n−1 = 4, obtemos $s^2 = \frac{2}{4} = 0,50$. É o valor exato do cálculo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,56 não corresponde a nenhum resultado do cálculo. Se o candidato errasse a soma dos quadrados (por exemplo, considerando 2,25 em vez de 2) ou o denominador, chegaria a um valor próximo, mas não exato. Não há operação com os dados que resulte em 0,56.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,60 também não é resultado de nenhuma operação correta. É um distrator numérico: valor próximo do correto, mas sem fundamento nos cálculos. Se alguém dividisse 3 (soma errada dos quadrados) por 5, obteria 0,60 — mas a soma correta é 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,62 não corresponde a nenhum cálculo válido. É outro distrator numérico, sem relação com os dados. A banca insere valores próximos para testar a precisão do candidato.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,64 também é um distrator. Não há operação com os dados que produza esse valor. A única resposta correta é 0,50, obtida com a fórmula amostral correta.

Gabarito: letra A.