Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100373

Distribuição Normal: aplicação do fator Z

Gabarito: letra E. O novo tempo estipulado é de 145 ut. Para garantir pelo menos 84% de probabilidade de conclusão dentro do prazo, com Z = 1 (dado no enunciado), aplicamos a fórmula de padronização da distribuição normal: $X = \mu + Z \cdot \sigma$ . Com média $\mu = 150$ ut e desvio padrão $\sigma = \sqrt{25} = 5$ ut, temos $X = 150 - 1 \cdot 5 = 145$ ut.

A questão trabalha com a distribuição normal, um dos pilares da estatística. O prazo previsto (150 ut) é a média ( $\mu$ ) da distribuição do tempo de conclusão, e a variância de 25 ut² nos dá o desvio padrão $\sigma = \sqrt{25} = 5$ ut. O engenheiro quer acelerar a obra para que a probabilidade de terminar dentro do novo prazo seja de pelo menos 84%. Como o fator Z correspondente a 84% é 1 (fornecido), e queremos um prazo MENOR que a média (acelerar = reduzir o tempo), o novo prazo estará à ESQUERDA da média na curva normal. Por isso, usamos Z negativo na fórmula de padronização.

A fórmula de padronização é:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Isolando X (o novo prazo):

X = \mu + Z \cdot \sigma

Substituindo os valores (com Z = -1, pois estamos à esquerda da média):

X = 150 + (-1) \cdot 5 = 150 - 5 = 145 \text{ ut}

O raciocínio é: se queremos que 84% das obras terminem ANTES do novo prazo, esse prazo deve ser 1 desvio padrão ABAIXO da média. Como a média é 150 e o desvio é 5, o novo prazo é 145 ut.

Alternativa A — ❌ Incorreta

125 ut corresponderia a Z = -5 (5 desvios abaixo da média), o que daria uma probabilidade praticamente nula de conclusão — muito menor que 84%. Esse valor não tem relação com o fator Z = 1 fornecido.

Alternativa B — ❌ Incorreta

130 ut corresponderia a Z = -4 (4 desvios abaixo da média), também com probabilidade ínfima. Não é o resultado de aplicar Z = 1 com os dados fornecidos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

135 ut corresponderia a Z = -3 (3 desvios abaixo da média), com probabilidade de aproximadamente 0,13% — muito abaixo dos 84% desejados. O candidato que escolheu esta opção provavelmente usou um Z diferente ou errou o cálculo do desvio.

Alternativa D — ❌ Incorreta

140 ut corresponderia a Z = -2 (2 desvios abaixo da média), com probabilidade de aproximadamente 2,28% — ainda muito abaixo de 84%. Este é um distrator comum para quem confunde o número de desvios ou usa a variância (25) em vez do desvio padrão (5) na fórmula.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

145 ut é exatamente 1 desvio padrão (5 ut) abaixo da média (150 ut). Com Z = 1 (fornecido), a probabilidade de a variável ser menor que esse valor é de aproximadamente 84% (na verdade, 84,13% para Z = 1,00). A fórmula aplicada é $X = \mu + Z \cdot \sigma = 150 + (-1) \cdot 5 = 145$ ut.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você perceba que "acelerar" significa REDUZIR o prazo, então o novo tempo fica à ESQUERDA da média — por isso o Z é NEGATIVO na fórmula. Quem usa Z = +1 encontra 155 ut (que nem está nas alternativas) e fica perdido. Outra armadilha é usar a variância (25) em vez do desvio padrão (5) — isso daria 125 ut (alternativa A), um distrator clássico.

PEGA ESSA DICA!

Na hora da prova, SEMPRE verifique: (1) o desvio padrão é a raiz quadrada da variância; (2) se o problema pede um valor MENOR que a média, o Z é negativo; (3) se pede um valor MAIOR, o Z é positivo. Monte a fórmula $X = \mu \pm Z \cdot \sigma$ e substitua com calma.

Gabarito: letra E