Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2025

Detecção de outliers pelo critério dos quartis (boxplot)

Gabarito: letra E. Pelo critério de Tukey, são outliers as observações fora do intervalo $(Q_1 - 1{,}5 \cdot D,\; Q_3 + 1{,}5 \cdot D)$, em que $D = Q_3 - Q_1$ é a distância interquartil. Para os 20 dados ordenados, $Q_1 = 10$ e $Q_3 = 20$, logo $D = 10$ e o intervalo aceitável é $(-5,\; 35)$. A única observação fora desse intervalo é o valor 38 — por isso a resposta é a letra E.

O critério de Tukey (ou regra dos 1,5·IQR) é o método padrão para identificar outliers em análises exploratórias, sendo a base do boxplot. Ele define limites inferior e superior a partir dos quartis e da distância interquartil (IQR). Qualquer valor abaixo do limite inferior ou acima do limite superior é considerado outlier. Nesta questão, o cálculo exige atenção à posição dos quartis em uma amostra com 20 elementos — um erro comum é calcular os quartis de forma incorreta, o que leva a respostas erradas como as alternativas B, C ou D.

Vamos calcular passo a passo:

1. Ordenar os dados (já estão ordenados): 1, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 15, 15, 16, 16, 18, 20, 20, 29, 30, 30, 38.

2. Posição dos quartis: com $n = 20$, o primeiro quartil é a mediana da primeira metade (10 primeiros valores) e o terceiro quartil é a mediana da segunda metade (10 últimos valores).

   • Primeira metade: 1, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 15 → mediana = (10 + 10)/2 = 10.

   • Segunda metade: 15, 16, 16, 18, 20, 20, 29, 30, 30, 38 → mediana = (20 + 20)/2 = 20.

3. Distância interquartil: $D = Q_3 - Q_1 = 20 - 10 = 10$.

4. Limites:

   • Inferior: $Q_1 - 1{,}5 \cdot D = 10 - 15 = -5$.

   • Superior: $Q_3 + 1{,}5 \cdot D = 20 + 15 = 35$.

5. Identificar outliers: valores menores que -5 ou maiores que 35. Na amostra, apenas o 38 é maior que 35. O valor 1 está dentro do intervalo (é maior que -5), e os valores 29 e 30 também estão dentro (são menores que 35).

Portanto, a totalidade de outliers é apenas o valor 38.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o valor 1 é outlier. O valor 1 está dentro do intervalo $(-5,\; 35)$, pois $1 > -5$. O erro aqui é considerar o valor mínimo como outlier sem verificar o limite inferior — que, neste caso, é negativo, tornando o 1 perfeitamente aceitável.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que os outliers são 1 e 38. O valor 1 não é outlier, como explicado. O candidato que marca esta opção provavelmente calculou o limite inferior de forma errada (por exemplo, usando $Q_1 - 1{,}5 \cdot D$ com $Q_1$ incorreto) ou simplesmente assumiu que o menor valor da amostra seria outlier.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os outliers são 1, 30, 30 e 38. Além do erro de incluir o 1, inclui os dois valores 30, que estão dentro do intervalo (30 < 35). O erro aqui é provavelmente usar um limite superior incorreto (menor que 30) ou confundir o critério com outro método (como o uso de $Q_3 + 1{,}5 \cdot D$ com $D$ calculado errado).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os outliers são 29, 30, 30 e 38. Os valores 29 e 30 estão dentro do intervalo (29 < 35 e 30 < 35). O erro é semelhante ao da alternativa C: provavelmente o candidato usou um limite superior incorreto, talvez $Q_3 + 1{,}5 \cdot D$ com $Q_3$ ou $D$ calculados de forma equivocada, ou ainda considerou valores próximos do limite como outliers.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A única observação fora do intervalo $(-5,\; 35)$ é o valor 38. Todos os demais valores (incluindo 1, 29 e 30) estão dentro dos limites. Portanto, a totalidade de outliers é apenas 38.

Gabarito: letra E