GabaritoD — 1.
Gabarito: letra D. Quando Y é uma transformação linear crescente de X, da forma Y = aX + b com a > 0, o coeficiente de correlação entre X e Y é exatamente 1 — correlação linear perfeita e positiva. Aqui, Y = 2X + 3 tem coeficiente angular a = 2 > 0, logo ρ(X, Y) = 1.
O coeficiente de correlação de Pearson mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele é definido como a razão entre a covariância e o produto dos desvios-padrão:
Quando Y é uma função linear de X, a relação é perfeitamente linear: todos os pontos (X, Y) caem exatamente sobre uma reta. Nesse caso, a covariância assume o valor máximo possível em módulo, e o coeficiente de correlação atinge o extremo +1 (se a inclinação for positiva) ou −1 (se for negativa). O termo constante b = 3 não afeta a correlação — ele apenas desloca os valores de Y, sem alterar a dispersão conjunta.
A pegadinha da banca está em tentar usar os coeficientes 2 e 3 como se fossem uma razão a ser calculada (2/3, 1/2, 3/2). Esses números não entram na fórmula da correlação; o que importa é apenas o sinal do coeficiente angular. Como 2 > 0, a correlação é perfeita e positiva.
Caso | Transformação (Y = aX + b) | Sinal de a | Correlação ρ(X, Y) |
|---|---|---|---|
a > 0 (ex.: Y = 2X + 3) | Linear crescente | Positivo | 1 |
a < 0 (ex.: Y = −2X + 3) | Linear decrescente | Negativo | −1 |
a = 0 (ex.: Y = 3) | Constante (sem relação linear) | Neutro | 0 |
Afirma que a correlação é 0. Isso ocorreria apenas se não houvesse relação linear entre X e Y — por exemplo, se Y fosse independente de X. Aqui, Y é uma função determinística de X, então a relação é perfeita, não nula.
Apresenta 2/3, que é a razão entre o coeficiente angular (2) e o termo constante (3). Essa razão não tem relação com o coeficiente de correlação. O valor 2/3 não corresponde a nenhuma medida estatística relevante neste contexto.
Apresenta 1/2, que é o inverso do coeficiente angular (1/2). Novamente, é um número extraído da transformação, mas sem significado para a correlação. A correlação não depende da magnitude da inclinação, apenas do sinal.
Como Y = 2X + 3 é uma transformação linear crescente de X, a relação entre as variáveis é perfeitamente linear e positiva. Portanto, ρ(X, Y) = 1. O termo constante 3 não altera a correlação; apenas o sinal do coeficiente angular (2 > 0) importa.
Apresenta 3/2, que é a razão entre o termo constante (3) e o coeficiente angular (2). Assim como as alternativas B e C, é um número derivado da transformação, mas sem relação com o coeficiente de correlação.
A banca tenta fazer você calcular uma razão entre os coeficientes 2 e 3 (2/3, 1/2, 3/2), quando na verdade a resposta é sempre 1 (ou −1) para qualquer transformação linear com inclinação positiva (ou negativa). O termo constante é um chamariz: ele não influencia a correlação. Lembre-se: correlação perfeita = ±1, e o sinal é dado pelo coeficiente angular.
Para resolver rápido, identifique se Y é uma função linear de X (Y = aX + b). Se sim, a correlação é 1 se a > 0 e −1 se a < 0. Não importa o valor de a nem de b. Essa propriedade é frequentemente cobrada em provas de estatística — grave-a e economize tempo.
Gabarito: letra D.
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