Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra A. O intervalo de 95% de confiança para a média $μ$ de uma população normal com variância conhecida é dado por $\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, em que $z = 1{,}96$ é o quantil da normal padrão para 95% de confiança. Substituindo $\bar{x} = 250$, $\sigma = \sqrt{400} = 20$ e $n = 100$, obtemos $250 \pm 1{,}96 \cdot \frac{20}{10} = 250 \pm 3{,}92$, ou seja, aproximadamente $(246;\,254)$.

O intervalo de confiança é a ferramenta da inferência estatística que fornece uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro populacional (no caso, a média $μ$), com um determinado nível de confiança. Quando a variância populacional é conhecida e a população é normal (ou a amostra é grande, pelo Teorema Central do Limite), a distribuição amostral da média é normal, e o intervalo é construído com o quantil $z$ da distribuição normal padrão.

A fórmula geral é:

em que $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico que deixa área $\alpha/2$ em cada cauda. Para 95% de confiança, $\alpha = 0{,}05$ e $z_{0{,}025} = 1{,}96$ (fornecido no enunciado). O termo $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é o erro padrão da média, que mede a variabilidade da média amostral.

A pegadinha clássica desta questão é confundir a variância com o desvio padrão: o enunciado informa a variância $\sigma^2 = 400$, mas a fórmula exige o desvio padrão $\sigma = 20$. Quem usa 400 diretamente obtém um intervalo absurdamente largo, como nas alternativas D e E. Outra armadilha é esquecer de dividir pelo tamanho da amostra no erro padrão, o que também alarga o intervalo.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula corretamente: $\sigma = \sqrt{400} = 20$, $\sqrt{n} = \sqrt{100} = 10$, logo o erro padrão é $\frac{20}{10} = 2$. O erro máximo da estimativa é $1{,}96 \times 2 = 3{,}92$. O intervalo é $250 \pm 3{,}92$, que arredondado para inteiros resulta em $(246;\,254)$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $(242;\,258)$ tem amplitude 16, correspondendo a um erro máximo de 8. Isso seria obtido se o erro padrão fosse 4 (por exemplo, usando $\sigma = 40$ ou $n = 25$), mas com os dados fornecidos o erro padrão é 2. Não há justificativa para esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $(237;\,263)$ tem amplitude 26, erro máximo 13. Isso corresponderia a um erro padrão de aproximadamente 6,63, que não decorre dos dados. Provavelmente o candidato usou a variância 400 diretamente no lugar do desvio padrão, sem extrair a raiz, e ainda errou o cálculo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $(230;\,270)$ tem amplitude 40, erro máximo 20. Isso é exatamente o que se obtém se usarmos $\sigma = 400$ (a variância) em vez de $\sigma = 20$: $1{,}96 \times \frac{400}{10} = 78{,}4$, que nem chega a 20. Na verdade, esse intervalo parece usar $\sigma = 20$ sem dividir por $\sqrt{n}$: $1{,}96 \times 20 = 39{,}2 \approx 40$. É a pegadinha de esquecer a divisão por $\sqrt{n}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $(224;\,276)$ tem amplitude 52, erro máximo 26. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Provavelmente o candidato usou a variância 400 no lugar do desvio padrão e ainda errou a divisão por $\sqrt{n}$: $1{,}96 \times \frac{400}{10} = 78{,}4$, que é ainda maior. Alternativa claramente distratora.

Gabarito: letra A