Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg106391

Distribuição Binomial: probabilidade de sucessos em amostra

Gabarito: letra C. A probabilidade de exatamente 2 dos 6 eleitores sorteados terem votado no candidato A é dada pela distribuição binomial com $n=6$ , $p=0{,}20$ e $k=2$ : $P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}20^2 \cdot 0{,}80^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576 \approx 0{,}25$ . O cálculo usa a fórmula da binomial, que se aplica porque a população é muito grande e os sorteios são independentes.

A questão cobra o modelo binomial, uma das principais distribuições discretas de probabilidade. Ela se aplica quando temos um experimento com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), um número fixo de tentativas independentes e probabilidade de sucesso constante em cada tentativa. Aqui, "sucesso" é o eleitor ter votado no candidato A, com probabilidade $p = 0{,}20$ ; "fracasso" é não ter votado, com $q = 1 - p = 0{,}80$ . O número de tentativas é $n = 6$ (eleitores sorteados) e queremos $k = 2$ sucessos.

A fórmula da binomial é:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

em que $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ . O fator $\binom{n}{k}$ conta de quantas maneiras diferentes os 2 sucessos podem ocorrer entre as 6 posições — por exemplo, os dois eleitores que votaram em A podem ser o 1º e o 3º sorteados, ou o 2º e o 5º, etc. São 15 combinações possíveis.

Substituindo os valores:

P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}20^2 \cdot 0{,}80^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576 \approx 0{,}25

O resultado é aproximadamente 0,25, o que corresponde à letra C.

A pegadinha da banca está em confundir a probabilidade pedida com a própria proporção populacional (0,20) ou com a probabilidade de um único eleitor (0,20). Muitos candidatos marcam a letra B por acharem que a resposta é simplesmente o valor de $p$ . Mas a probabilidade de obter exatamente 2 sucessos em 6 tentativas é diferente de $p$ — ela envolve o coeficiente binomial e as potências de $p$ e $q$ .

1Identificar n, p, k
2Calcular combinação C(6,2)
3Aplicar p^k e q^(n-k)
4Multiplicar e arredondar

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,12 não corresponde a nenhum cálculo direto da binomial para $n=6$ , $p=0{,}20$ e $k=2$ . Ele poderia surgir de um erro de arredondamento ou de uma conta parcial, mas não é o resultado correto. A probabilidade exata é 0,24576, que arredonda para 0,25.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,20 é a probabilidade de um único eleitor ter votado em A ( $p$ ), não a probabilidade de exatamente 2 entre 6. A banca coloca esse distrator para quem confunde a proporção populacional com a probabilidade binomial pedida.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é $P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}20^2 \cdot 0{,}80^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576 \approx 0{,}25$ . O valor 0,25 é a aproximação mais próxima do resultado exato.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,32 não corresponde ao cálculo binomial. Ele poderia ser obtido se o aluno usasse $p=0{,}20$ e $q=0{,}80$ de forma incorreta, ou se confundisse com outra distribuição (como a Poisson com $\lambda = np = 1{,}2$ , que daria $P(X=2) \approx 0{,}2169$ ). Mas para a binomial, o valor correto é 0,24576.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,37 também não é o resultado da binomial. Ele é maior que o valor correto e não tem relação com os parâmetros do problema. Provavelmente é um distrator aleatório para completar as opções.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a probabilidade de sucesso individual ( $p = 0{,}20$ ) e a probabilidade de um número específico de sucessos na amostra. O candidato apressado marca a letra B (0,20) sem aplicar a fórmula binomial. Lembre-se: quando a pergunta é "probabilidade de que 2 tenham votado em A", você precisa calcular $P(X=2)$ com a binomial, não usar $p$ diretamente. Com treino, você identifica esse padrão rapidamente 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de binomial, monte o esquema: $n$ (tamanho da amostra), $p$ (probabilidade de sucesso), $k$ (número de sucessos desejado) e aplique $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ . Se a população for muito grande (ou houver reposição), as extrações são independentes e a binomial é o modelo certo. Se a população for pequena e sem reposição, use a hipergeométrica.

Gabarito: letra C.