Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg106392

Variância amostral e estimativa de máxima verossimilhança

Gabarito: letra B. A variância amostral pedida é a estimativa de máxima verossimilhança da variância populacional, que para uma amostra de tamanho $n$ é calculada dividindo a soma dos quadrados dos desvios em relação à média por $n$ (e não por $n-1$ ). Para os dados 3,2; 2,8; 5,2; 4,2; 4,6, a média é 4,0 e a soma dos quadrados dos desvios é 3,92; dividindo por 5, obtém-se 0,784, aproximadamente 0,78.

A questão mistura dois conceitos que costumam confundir: a variância amostral usual (com divisor $n-1$ , que é um estimador não viesado da variância populacional) e a estimativa de máxima verossimilhança da variância (com divisor $n$ , que é viesada, mas é a que maximiza a verossimilhança sob normalidade). O enunciado pede explicitamente a estimativa de máxima verossimilhança, então o divisor é $n=5$ , não $n-1=4$ . Se o candidato usar o divisor $n-1$ , encontrará 0,98, que corresponde à alternativa C — essa é a pegadinha central da questão.

Vamos ao cálculo passo a passo:

Média amostral: $\bar{x} = \frac{3,2 + 2,8 + 5,2 + 4,2 + 4,6}{5} = \frac{20,0}{5} = 4,0$ .

Soma dos quadrados dos desvios:
- $(3,2 - 4,0)^2 = (-0,8)^2 = 0,64$
- $(2,8 - 4,0)^2 = (-1,2)^2 = 1,44$
- $(5,2 - 4,0)^2 = (1,2)^2 = 1,44$
- $(4,2 - 4,0)^2 = (0,2)^2 = 0,04$
- $(4,6 - 4,0)^2 = (0,6)^2 = 0,36$
- Soma = $0,64 + 1,44 + 1,44 + 0,04 + 0,36 = 3,92$ .

Estimativa de máxima verossimilhança da variância: $\hat{\sigma}^2_{MV} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{3,92}{5} = 0,784$ .

Aproximação: 0,784 ≈ 0,78 → letra B.

PEGA ESSA DICA!

Na prova, identifique qual variância é pedida: se o enunciado diz "variância amostral" sem qualificação, use $n-1$ ; se diz "estimativa de máxima verossimilhança" ou "variância populacional estimada por MV", use $n$ . Uma tabela ajuda a fixar:

Tipo de estimativa	Fórmula	Para os dados:
Variância amostral (não viesada)	$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$	$\frac{3,92}{4} = 0,98$
Estimativa de MV (viesada)	$\hat{\sigma}^2_{MV} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$	$\frac{3,92}{5} = 0,784$

Repare que a alternativa C (0,97) é exatamente o valor com divisor $n-1$ — a banca espera que você caia nessa troca.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,56 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o candidato errasse a média ou os desvios, poderia chegar a um valor próximo, mas não há uma interpretação canônica para esse número. É um distrator puro.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente $\frac{3,92}{5} = 0,784$ , que arredondado para duas casas decimais é 0,78. A alternativa espelha o cálculo correto da estimativa de máxima verossimilhança, com divisor $n=5$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,97 (ou 0,98) é o resultado da variância amostral não viesada, com divisor $n-1=4$ : $\frac{3,92}{4} = 0,98$ . A banca troca o divisor para induzir ao erro — quem usa a fórmula usual de variância amostral cai aqui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1,34 não corresponde a nenhum cálculo direto. Poderia surgir de um erro de aritmética (por exemplo, somar os desvios ao quadrado incorretamente) ou de confundir com o desvio padrão de outra forma, mas não há uma justificativa estatística clara.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1,56 também não corresponde a nenhum cálculo correto com os dados. É um distrator numérico sem relação direta com a média, os desvios ou qualquer transformação simples deles.

Gabarito: letra B