Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

Escala cartográfica: conversão entre escalas

Gabarito: letra C — o elemento que mede 2,5 cm no mapa de 1940 (escala 1:6.500.000) terá 3,25 cm no mapa atual (escala 1:5.000.000). A relação é de proporcionalidade inversa: quanto maior o denominador da escala, menor o desenho no mapa; ao reduzir o denominador de 6.500.000 para 5.000.000, o mesmo elemento real é representado de forma maior, na razão $\frac{6,5}{5} = 1,3$.

A escala de um mapa indica quantas vezes a realidade foi reduzida: na escala 1:6.500.000, cada 1 cm no papel corresponde a 6.500.000 cm (65 km) no terreno; na escala 1:5.000.000, cada 1 cm corresponde a 5.000.000 cm (50 km). Como o elemento real é o mesmo nos dois mapas, o comprimento no papel é inversamente proporcional ao denominador da escala. A banca explora exatamente essa inversão: muitos candidatos multiplicam 2,5 por $\frac{5}{6,5}$ (o que daria 1,92 cm, letra B), mas o raciocínio correto é multiplicar por $\frac{6,5}{5}$, pois a escala atual é "maior" (representa a realidade com menos redução), então o desenho fica maior.

Resolução passo a passo

1. Entender o que a escala significa:

   • Escala 1:6.500.000 → 1 cm no mapa = 6.500.000 cm reais.

   • Escala 1:5.000.000 → 1 cm no mapa = 5.000.000 cm reais.

1. Calcular o tamanho real do elemento (usando o mapa de 1940):

   • Se 2,5 cm no mapa representam o elemento, o tamanho real é:

     $2,5 \times 6.500.000 = 16.250.000 \text{ cm}$

1. Converter para o mapa atual:

   • Dividindo o tamanho real pelo denominador da escala atual:

     $\frac{16.250.000}{5.000.000} = 3,25 \text{ cm}$

Portanto, o elemento terá 3,25 cm no mapa atual.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1,30 cm é obtido ao multiplicar 2,5 por 0,52 (ou seja, $\frac{5}{6,5} \times 2,5$), o que inverte a relação de proporcionalidade. Esse cálculo corresponderia a uma escala com denominador maior (mapa menor), o que não é o caso, pois a escala atual tem denominador menor (mapa maior).

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1,92 cm é o resultado de multiplicar 2,5 por $\frac{5}{6,5}$ (ou seja, $2,5 \times 0,769 = 1,92$). Esse é o erro clássico: aplicar a razão invertida. Como a escala atual é maior (denominador menor), o desenho deve ser maior, não menor. Portanto, 1,92 cm é o valor que seria obtido se a escala atual fosse 1:8.450.000 (denominador maior), o que não corresponde ao enunciado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 3,25 cm é obtido ao multiplicar 2,5 por $\frac{6,5}{5}$ (ou seja, $2,5 \times 1,3 = 3,25$). Isso ocorre porque a escala atual tem denominador menor (5.000.000 < 6.500.000), o que significa que o mapa atual é mais detalhado e o mesmo elemento real é representado de forma maior. A proporcionalidade inversa entre o denominador da escala e o tamanho do desenho é a chave da resolução.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 19,23 cm é obtido ao dividir 2,5 por 0,13 (ou seja, $\frac{2,5}{0,13} = 19,23$), o que não tem relação direta com a conversão entre as escalas. Esse valor seria o resultado de uma interpretação equivocada da razão entre os denominadores, como se a escala atual fosse muito menor (denominador muito maior), o que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 32,50 cm é obtido ao multiplicar 2,5 por 13 (ou seja, $2,5 \times 13 = 32,5$), o que corresponde a uma razão de 13 vezes, não 1,3 vezes. Esse erro ocorre ao confundir a razão entre os denominadores (6,5/5 = 1,3) com a razão entre os próprios denominadores em outra unidade (6.500.000/500.000 = 13). A razão correta é 1,3, não 13.

Gabarito: letra C