Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg106862

EstatísticaAmostragem

Código: fg106862
Banca: FGV
Órgão: CNU
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Bloco Temático 5: Administração

Analistas do Ministério das Cidades estão estudando o tempo médio de deslocamento casa-trabalho em uma metrópole brasileira. A população é composta por 40 mil trabalhadores formais e, segundo estudos anteriores, o tempo de deslocamento segue uma distribuição aproximadamente normal, com média μ=60 minutos e desvio padrão populacional σ=20 minutos.Três diferentes amostras aleatórias simples foram selecionadas com o objetivo de estimar a média de deslocamento da população:• amostra 1: 25 pessoas • amostra 2: 100 pessoas • amostra 3: 400 pessoas Considerando que o objetivo é estimar se a probabilidade de que a média amostral difira da média populacional por, no máximo, 2 minutos (ou seja, esteja no intervalo entre 58 e 62 minutos), os analistas devem considerar que:

Ana amostra 1, o valor de Z é 0,5, resultando na maior probabilidade entre as três amostras;
Bna amostra 2, o valor de Z é 1,0, resultando na maior probabilidade entre as três amostras;
Cna amostra 3, o valor de Z é 2,0, resultando na maior probabilidade entre as três amostras;
Dnas três amostras, o valor de Z é constante, pois o intervalo (±2 minutos) é fixo, levando a probabilidades iguais;
Ena amostra 2, o intervalo equivale a 2 desvios padrão, levando à menor probabilidade entre as três amostras.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — na amostra 3, o valor de Z é 2,0, resultando na maior probabilidade entre as três amostras;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição amostral da média e o erro padrão

Gabarito: letra C. Na amostra 3 (n = 400), o valor de Z é 2,0 e a probabilidade de a média amostral diferir da média populacional por no máximo 2 minutos é a maior entre as três amostras. Isso ocorre porque o erro padrão da média ( $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$ ) diminui com o aumento do tamanho da amostra, fazendo com que o intervalo de ±2 minutos corresponda a um número maior de desvios padrão (Z maior) e, portanto, a uma área maior sob a curva normal.

A questão explora o conceito de distribuição amostral da média. Quando extraímos amostras aleatórias de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ , a média amostral $\bar{x}$ tem distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes) com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$ , chamado de erro padrão da média. Quanto maior o tamanho da amostra $n$ , menor o erro padrão, ou seja, a distribuição amostral fica mais concentrada em torno da média populacional. Assim, a probabilidade de a média amostral cair dentro de um intervalo fixo (como ±2 minutos) aumenta com $n$ .

Para calcular o valor de Z correspondente ao intervalo de ±2 minutos, usamos:

Z = \frac{\text{limite} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{2}{\sigma/\sqrt{n}}

Aplicando para cada amostra:

Amostra 1 (n = 25): $\sigma_{\bar{x}} = 20/\sqrt{25} = 4$ → $Z = 2/4 = 0,5$
Amostra 2 (n = 100): $\sigma_{\bar{x}} = 20/\sqrt{100} = 2$ → $Z = 2/2 = 1,0$
Amostra 3 (n = 400): $\sigma_{\bar{x}} = 20/\sqrt{400} = 1$ → $Z = 2/1 = 2,0$

A probabilidade de a média amostral estar entre 58 e 62 minutos é $P(-Z \leq Z \leq Z) = 2\Phi(Z) - 1$ . Quanto maior o Z, maior essa probabilidade. Portanto, a amostra 3, com Z = 2,0, tem a maior probabilidade.

1Erro padrão σ/√n
2Z = 2 ÷ erro padrão
3Probabilidade cresce com Z

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Critério	Amostra 1 (n=25)	Amostra 2 (n=100)	Amostra 3 (n=400)
Erro padrão (σ/√n)	20/5 = 4	20/10 = 2	20/20 = 1
Z para ±2 min (2 ÷ erro padrão)	0,5	1,0	2,0
Probabilidade (área entre −Z e +Z)	≈ 38,3% (menor)	≈ 68,3% (intermediária)	≈ 95,4% (maior)
Interpretação do intervalo ±2 min	0,5 desvio padrão	1 desvio padrão	2 desvios padrão

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor de Z na amostra 1 é de fato 0,5, mas isso resulta na menor probabilidade entre as três, não na maior. Com n = 25, o erro padrão é 4, então o intervalo de ±2 minutos corresponde a apenas 0,5 desvio padrão, cobrindo uma área menor sob a curva normal.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Na amostra 2, o valor de Z é 1,0, correto, mas a probabilidade correspondente (cerca de 68,27%) é intermediária, não a maior. A amostra 3, com Z = 2,0, tem probabilidade maior (cerca de 95,45%).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Na amostra 3, com n = 400, o erro padrão é $\sigma_{\bar{x}} = 20/\sqrt{400} = 1$ . O intervalo de ±2 minutos corresponde a Z = 2,0, e a probabilidade de a média amostral estar nesse intervalo é aproximadamente 95,45%, a maior entre as três amostras. Isso ilustra o princípio de que amostras maiores produzem estimativas mais precisas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor de Z não é constante, pois depende do erro padrão, que varia com o tamanho da amostra. Embora o intervalo (±2 minutos) seja fixo, o erro padrão diminui com o aumento de n, fazendo com que Z aumente. Portanto, as probabilidades não são iguais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Na amostra 2, o intervalo de ±2 minutos equivale a 1 desvio padrão (Z = 1,0), não a 2 desvios padrão. Além disso, a amostra 2 tem probabilidade intermediária, não a menor. A menor probabilidade é da amostra 1 (Z = 0,5).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o desvio padrão populacional ( $\sigma = 20$ ) e o erro padrão da média ( $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$ ). O candidato apressado pode calcular Z usando $\sigma$ diretamente (Z = 2/20 = 0,1) e errar todas as alternativas. Lembre-se: para a média amostral, o desvio padrão é sempre dividido pela raiz do tamanho da amostra.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de distribuição amostral da média, o primeiro passo é sempre calcular o erro padrão $\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}$ . Depois, para achar a probabilidade de a média amostral estar dentro de um intervalo, calcule Z = (limite − μ)/ $\sigma_{\bar{x}}$ e use a tabela normal. Quanto maior o n, menor o erro padrão e maior a probabilidade de a média amostral estar próxima da média populacional.

Gabarito: letra C

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