Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg106863

Tamanho da amostra para estimar a média

Gabarito: letra D. Para que o erro padrão da média amostral seja igual a 5% do desvio padrão populacional, o tamanho da amostra deve ser 400. Isso decorre da fórmula do erro padrão da média em amostragem aleatória simples com reposição: $\text{erro padrão} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Igualando a $0{,}05\sigma$ , obtemos $\sqrt{n} = 20$ , logo $n = 400$ .

O erro padrão da média amostral mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional. Em uma amostragem aleatória simples com reposição, as observações são independentes, e a variância da média amostral é dada por $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ , onde $\sigma^2$ é a variância populacional. Portanto, o erro padrão (desvio padrão da média amostral) é $\text{EP}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

A exigência do analista é que esse erro padrão seja igual a 5% do desvio padrão populacional, ou seja, $\text{EP}(\bar{X}) = 0{,}05\sigma$ . Substituindo na fórmula:

\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0{,}05\sigma

Cancelando $\sigma$ (que é positivo) em ambos os lados:

\frac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} = \frac{1}{0{,}05} = 20 \quad \Rightarrow \quad n = 20^2 = 400

Portanto, o tamanho mínimo da amostra é 400 casos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o erro padrão e a variância da média. Se o candidato usasse $\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$ e igualasse a $0{,}05\sigma^2$ , obteria $n = 20$ (alternativa B). Mas o enunciado fala em erro padrão, que é o desvio padrão da média, não a variância. Fique atento: erro padrão = $\sigma/\sqrt{n}$ ; variância da média = $\sigma^2/n$ .

1EP = σ/√n
2Iguala a 0,05σ
3√n = 20
4n = 400

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Alternativa A — ❌ Incorreta

100 casos resultaria em erro padrão $\sigma/\sqrt{100} = \sigma/10 = 0{,}1\sigma$ , ou seja, 10% do desvio padrão — o dobro do exigido. O candidato que erra ao calcular $\sqrt{100}=10$ e achar que isso corresponde a 5% comete esse erro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

200 casos daria erro padrão $\sigma/\sqrt{200} \approx 0{,}0707\sigma$ , cerca de 7,07% — ainda acima de 5%. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto; é um distrator numérico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

300 casos produz erro padrão $\sigma/\sqrt{300} \approx 0{,}0577\sigma$ , aproximadamente 5,77% — não atinge a precisão exigida. Também é um distrator sem correspondência com a fórmula.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

400 casos é exatamente o valor que satisfaz a condição: $\sqrt{400} = 20$ , logo $\text{EP} = \sigma/20 = 0{,}05\sigma$ . É o único valor que torna o erro padrão igual a 5% do desvio padrão populacional.

Alternativa E — ❌ Incorreta

500 casos daria erro padrão $\sigma/\sqrt{500} \approx 0{,}0447\sigma$ , cerca de 4,47% — menor que 5%, ou seja, mais preciso do que o necessário, mas não é o mínimo exigido. O enunciado pede o tamanho mínimo para garantir a precisão, e 400 já a garante.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de tamanho amostral com erro padrão proporcional ao desvio padrão, monte a equação $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = k\sigma$ e resolva para $n$ . Aqui, $k = 0{,}05$ , então $n = \left(\dfrac{1}{0{,}05}\right)^2 = 400$ . Memorize a relação: se o erro padrão deve ser $p\%$ do desvio padrão, então $n = \left(\dfrac{100}{p}\right)^2$ .

Gabarito: letra D