Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2025

Transformações lineares em medidas estatísticas

Gabarito: letra E. Quando cada valor de um conjunto de dados é multiplicado por uma constante positiva (aqui, 1,2 — aumento de 20%), a média, a mediana, o desvio padrão e os valores extremos são todos multiplicados por essa mesma constante. Isso preserva as proporções relativas entre os dados e, portanto, o formato da distribuição (a assimetria e a curtose permanecem inalteradas). A alternativa E é a única que descreve corretamente esse efeito.

A questão explora o efeito de uma transformação linear (multiplicação por uma constante) sobre as medidas de posição e dispersão. Vamos entender o que acontece com cada medida:

• Média: se cada valor $x_i$ vira $1,2 \cdot x_i$, a nova média é $1,2 \cdot \bar{x}$. No caso, $12 \times 1,2 = 14,4$ minutos.

• Mediana: como a mediana é um valor que divide os dados ao meio, multiplicar todos os valores por 1,2 também a multiplica por 1,2. A nova mediana seria $10 \times 1,2 = 12$ minutos.

• Desvio padrão: o desvio padrão mede a dispersão em torno da média. Se todos os valores são multiplicados por 1,2, a dispersão também é multiplicada por 1,2. O novo desvio padrão seria $6 \times 1,2 = 7,2$ minutos.

• Mínimo e máximo: também são multiplicados por 1,2, resultando em 3,6 e 38,4 minutos, respectivamente.

Como todas as medidas de posição e dispersão são multiplicadas pela mesma constante, as proporções entre os dados são mantidas. Por exemplo, a razão entre o desvio padrão e a média (o coeficiente de variação) permanece a mesma: $\frac{6}{12} = \frac{7,2}{14,4} = 0,5$. O formato da distribuição — sua assimetria e curtose — não se altera, pois a forma é uma propriedade relativa dos dados, não absoluta.

A pegadinha da banca está em sugerir que a mudança alteraria a relação entre as medidas (como a distância entre média e extremos, ou o tipo de assimetria), quando na verdade a transformação é uniforme e preserva a estrutura dos dados.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a mudança aumentaria a distância entre as medidas de tendência central e os valores extremos. Isso é falso: tanto a média quanto os valores extremos (mínimo e máximo) são multiplicados por 1,2, então a distância entre eles também é multiplicada por 1,2, mas a proporção entre eles permanece a mesma. A distância absoluta aumenta, mas a distância relativa (em relação à média, por exemplo) não muda. A alternativa erra ao sugerir que a relação entre as medidas se alteraria.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a média aumentaria, mas o desvio padrão reduziria. Isso é um erro conceitual: quando todos os valores são multiplicados por uma constante positiva, tanto a média quanto o desvio padrão são multiplicados por essa constante. O desvio padrão aumenta (de 6 para 7,2), não reduz. O coeficiente de variação, que é a razão entre desvio padrão e média, permanece inalterado, pois ambos são multiplicados pelo mesmo fator.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a mediana se igualaria à média. Isso não ocorre: a mediana seria multiplicada por 1,2 (passando de 10 para 12), e a média também (passando de 12 para 14,4). A diferença entre elas permanece a mesma (2 minutos antes, 2,4 minutos depois). A distribuição original não é "mantida" no sentido de que os valores mudam, mas o formato (a forma relativa) é preservado. A alternativa confunde a manutenção do formato com a manutenção dos valores absolutos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a posição da média em relação à mediana mudaria, indicando alteração no tipo de assimetria. Isso é falso: como ambas são multiplicadas pela mesma constante, a relação entre elas (quem é maior) permanece a mesma. A média (12) continua maior que a mediana (10), indicando assimetria à direita (positiva), e essa característica é preservada após a transformação. O tipo de assimetria não muda.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a mudança manteria as proporções entre os dados e não alteraria o formato da distribuição original. Isso está correto: multiplicar todos os valores por uma constante positiva é uma transformação linear que preserva as proporções relativas e o formato da distribuição. O coeficiente de variação permanece o mesmo, e a assimetria e a curtose não se alteram. A distribuição é simplesmente "esticada" ou "comprimida" uniformemente, sem mudar sua forma.

Gabarito: letra E