Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Teorema de Bayes aplicado a testes de hipóteses

Gabarito: letra E. A probabilidade real de a tábua não ser aderente, dado que o teste foi rejeitado, é de 64%. Isso se calcula pelo Teorema de Bayes, combinando a prevalência de tábuas não aderentes (10%), o nível de significância (5%, que é a probabilidade de falso positivo) e o poder do teste (80%, que é a probabilidade de verdadeiro positivo). A questão não pede a probabilidade de erro, mas sim o valor preditivo positivo do teste, que é a chance de a hipótese nula ter sido rejeitada corretamente.

O ponto central é distinguir as probabilidades que o teste fornece das probabilidades que queremos saber. O nível de significância (α = 5%) é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira — ou seja, a probabilidade de um falso positivo. O poder do teste (1 − β = 80%) é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa — ou seja, a probabilidade de um verdadeiro positivo. Mas a pergunta é: dado que o teste foi rejeitado, qual a chance de a tábua realmente não ser aderente? Isso é o valor preditivo positivo, que depende também da prevalência do problema na população (10% das tábuas não são aderentes).

Vamos organizar os dados:

• P(Não aderente) = 10% = 0,10 (prevalência)

• P(Aderente) = 90% = 0,90

• P(Rejeitar | Aderente) = α = 5% = 0,05 (falso positivo)

• P(Rejeitar | Não aderente) = Poder = 80% = 0,80 (verdadeiro positivo)

Queremos P(Não aderente | Rejeitar). Pelo Teorema de Bayes:

O denominador P(Rejeitar) é a probabilidade total de rejeição, que ocorre em dois cenários: ou a tábua não é aderente e o teste acerta (verdadeiro positivo), ou a tábua é aderente e o teste erra (falso positivo).

Agora calculamos:

Portanto, mesmo com um teste de alto poder (80%) e baixo nível de significância (5%), a probabilidade de a tábua ser realmente não aderente quando o teste é rejeitado é de apenas 64%. Isso ocorre porque a prevalência de tábuas não aderentes é baixa (10%), o que faz com que a maioria das rejeições venha de falsos positivos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor de 5% é o nível de significância (α), que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira (erro tipo I). Não é a probabilidade de a tábua ser não aderente dado que o teste foi rejeitado. A banca explora a confusão entre a probabilidade de erro do teste e a probabilidade de o evento real ter ocorrido.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor de 8% é o resultado da multiplicação 0,80 × 0,10 = 0,08, que é a probabilidade conjunta de a tábua ser não aderente E o teste ser rejeitado (verdadeiro positivo). Mas a pergunta pede uma probabilidade condicional, que exige a divisão pela probabilidade total de rejeição (0,125). O candidato que para na multiplicação erra por não completar o Teorema de Bayes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor de 9% é o resultado da multiplicação 0,90 × 0,10 = 0,09, que não corresponde a nenhuma probabilidade relevante no problema. Pode ser uma tentativa de combinar a prevalência com o complemento do poder, mas não há fundamento lógico. A banca insere esse número como distrator puro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor de 10% é a prevalência de tábuas não aderentes na população (P(Não aderente)). É a probabilidade a priori, antes de qualquer teste. A questão pede a probabilidade a posteriori, após a rejeição do teste, que é maior (64%) porque o teste fornece evidência a favor da não aderência.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor de 64% é exatamente o resultado do Teorema de Bayes, como calculado acima. É o valor preditivo positivo do teste: a probabilidade de a tábua ser realmente não aderente, dado que o teste foi rejeitado. A alternativa está correta porque aplica corretamente a fórmula, considerando a prevalência, o nível de significância e o poder do teste.

A probabilidade pedida é 8% / (8% + 4,5%) = 64%. Esse método visual evita erros de fórmula.

Gabarito: letra E.