Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Testes de aderência em premissas atuariais

Gabarito: letra A. No Teste Montello, quando se utiliza taxa de juros nula, o peso atribuído a cada idade corresponde aproximadamente à expectativa de (sobre)vida, pois o fator de desconto se torna 1 e o valor presente esperado se reduz à soma das probabilidades de sobrevivência, que é justamente a expectativa de vida. As demais alternativas contêm erros conceituais sobre os testes de Qui-Quadrado, Kolmogorov-Smirnov, Jarque-Bera e Mann-Whitney.

Os testes de aderência são utilizados na área atuarial para verificar se uma tábua biométrica (de mortalidade, sobrevivência, invalidez etc.) se ajusta adequadamente à experiência observada de uma massa de segurados ou participantes. Cada teste tem suas particularidades: alguns são paramétricos, outros não paramétricos; alguns exigem normalidade, outros não; alguns avaliam apenas a forma da distribuição, outros avaliam também a localização. A banca FGV, em provas de atuária, costuma cobrar exatamente essas distinções, explorando a confusão entre os pressupostos de cada teste.

O Teste Montello é um método específico para avaliar a aderência de tábuas biométricas de sobrevivência. Ele compara as probabilidades de sobrevivência observadas com as esperadas pela tábua, atribuindo pesos a cada idade. Quando a taxa de juros é nula, o fator de desconto $(1+i)^{-t}$ é igual a 1, e o peso de cada idade passa a ser a soma das probabilidades de sobrevivência a partir daquela idade, que é exatamente a expectativa de (sobre)vida. Por isso a alternativa A está correta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmativa está correta. No Teste Montello, para tábuas biométricas de sobrevivência, o peso de cada idade é calculado com base no valor presente atuarial, que envolve o fator de desconto. Com taxa de juros nula, o fator de desconto é 1, e o peso se torna a soma das probabilidades de sobrevivência, que é a expectativa de (sobre)vida. Em termos matemáticos, se $p_x$ é a probabilidade de um indivíduo de idade $x$ sobreviver até $x+1$, a expectativa de vida é $e_x = \sum_{k=1}^{\infty} {}_k p_x$, e com $i=0$ o peso é exatamente essa soma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta. No Teste de Qui-Quadrado, à medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição qui-quadrado se aproxima da distribuição normal, não da uniforme. Isso decorre do Teorema Central do Limite: a qui-quadrado com $k$ graus de liberdade é a soma de $k$ quadrados de normais padrão independentes, e para $k$ grande essa soma se aproxima de uma normal. A distribuição uniforme não é o limite; ela é uma distribuição com densidade constante em um intervalo, sem relação com o qui-quadrado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta. O Teste Kolmogorov-Smirnov é um teste não paramétrico e não exige o pressuposto de normalidade para as amostras. Ele compara a função de distribuição acumulada empírica com uma distribuição teórica (teste de uma amostra) ou com outra distribuição empírica (teste de duas amostras), sem supor nenhuma forma paramétrica. A exigência de normalidade é típica de testes paramétricos, como o teste t, não do Kolmogorov-Smirnov.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta. O Teste Jarque-Bera leva em consideração tanto a assimetria quanto a curtose. A estatística do teste é calculada como $JB = \frac{n}{6}\left(S^2 + \frac{(K-3)^2}{4}\right)$, onde $S$ é o coeficiente de assimetria e $K$ é o coeficiente de curtose. O teste verifica se os dados provêm de uma distribuição normal, que tem assimetria 0 e curtose 3. Portanto, a alternativa erra ao afirmar que a curtose é considerada, mas a assimetria não.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta. O Teste dos Sinais de Mann-Whitney (na verdade, o Teste de Mann-Whitney U, também chamado de Wilcoxon-Mann-Whitney) é um teste não paramétrico e não exige o pressuposto de normalidade para as duas amostras. Ele é usado para comparar se duas amostras independentes provêm da mesma população, baseando-se nos postos das observações, e não nos valores originais. A exigência de normalidade seria para um teste t de comparação de médias, não para o Mann-Whitney.

Gabarito: letra A