Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2025

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg115724
Banca
FGV
Órgão
MPU
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Analista do - Perito em Economia
Um capital C é aplicado a uma taxa efetiva composta de 8% ao ano por 4 anos, gerando montante um M.Considerando uma taxa de inflação constante e igual 4,8% ao ano, caso esse mesmo capital C fosse aplicado por dois anos, a uma taxa nominal i capitalizada semestralmente, a taxa de juros real efetiva equivalente seria igual, aproximadamente, a:
  1. A10,50% ao ano;
  2. B11,30% ao ano;
  3. C12,60% ao ano;
  4. D12,80% ao ano;
  5. E13,10% ao ano.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 11,30% ao ano;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matemática Financeira — Taxa Real e Equivalência

Gabarito: letra B (11,30% ao ano). Para que o ganho real (após inflação) da aplicação de 2 anos com capitalização semestral seja equivalente ao ganho real da aplicação de 4 anos a 8% a.a., a taxa nominal anual i deve ser tal que o montante real sobre o mesmo capital C seja igual nos dois períodos. Isso leva a uma taxa efetiva anual (nominal) de aproximadamente 11,30% a.a.

A questão testa a relação entre taxa aparente, inflação e taxa real, além da equivalência de capitais no tempo. A chave é igualar os fatores de ganho real:

  • Aplicação original: capital C, 8% a.a. por 4 anos → fator de ganho aparente = (1,08)4(1,08)^4; inflacionário = (1,048)4(1,048)^4 → fator de ganho real = (1,08/1,048)4(1,08/1,048)^4.

  • Nova aplicação: capital C, taxa nominal i capitalizada semestralmente por 2 anos → fator aparente = (1+i/2)4(1 + i/2)^4; inflacionário = (1,048)2(1,048)^2 → fator real = (1+i/2)4/(1,048)2(1 + i/2)^4 / (1,048)^2.

Igualando os fatores reais: [ \frac{(1 + i/2)^4}{(1,048)^2} = \left(\frac{1,08}{1,048}\right)^4 ]

Calculando: [ \left(\frac{1,08}{1,048}\right)^4 \approx (1,030534)^4 \approx 1,12785 ] [ (1 + i/2)^4 = 1,12785 \times (1,048)^2 = 1,12785 \times 1,098304 \approx 1,2387 ] [ 1 + i/2 = (1,2387)^{1/4} \approx 1,0550 \Rightarrow i \approx 0,1100 \text{ (11,00% nominal a.a.)} ]

A taxa efetiva anual (nominal) correspondente é: [ i_{\text{efetiva}} = (1 + i/2)^2 - 1 = (1,0550)^2 - 1 \approx 0,1130 = 11,30\% \text{ a.a.} ]

Assim, a taxa de juros real efetiva (que na verdade é a taxa efetiva nominal, pois incorpora a inflação) é aproximadamente 11,30% ao ano.

Caso

Atribuição (p: taxa nominal i = 11,30% a.a.)

Resultado

1

i = 10,50% a.a.

Incorreto

2

i = 11,30% a.a.

Correto

3

i = 12,60% a.a.

Incorreto

4

i = 12,80% a.a.

Incorreto

5

i = 13,10% a.a.

Incorreto

Alternativa A — ❌ Incorreta

10,50% ao ano — valor ligeiramente inferior ao calculado. O erro vem de aproximação ou de não considerar corretamente a equivalência dos fatores reais.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

11,30% ao ano — resultado do cálculo conforme demonstrado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12,60% ao ano — valor que surge se desconsiderar a inflação no período ou se confundir a capitalização.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12,80% ao ano — próximo do efetivo anual da primeira aplicação (8% a.a. efetivo resulta em 1,084=1,36051,08^4 = 1,3605, mas não é o que se pede).

Alternativa E — ❌ Incorreta

13,10% ao ano — valor superestimado, talvez por usar o fator (1,08/1,048)2(1,08/1,048)^2 em vez de (1,08/1,048)4(1,08/1,048)^4.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de equivalência com inflação, iguale sempre os fatores de ganho real (aparente dividido pelo inflacionário) e atente ao período de capitalização. A taxa efetiva nominal é obtida elevando o fator semestral ao quadrado.

Gabarito: letra B (11,30% ao ano).

Link permanente: /questoes/fg115724