Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg115725

Probabilidade e Lei dos Grandes Números

Gabarito: letra E. A Lei dos Grandes Números estabelece que a média amostral $\bar{Z}$ converge em probabilidade para a esperança matemática $E[Z]$ da variável aleatória $Z = X^2$ . Primeiramente, determinamos a constante $c$ da função densidade de probabilidade $f(x) = cx^2$ no intervalo $[0, 4]$ exigindo que a integral total seja igual a 1:

\int_{0}^{4} cx^2 dx = c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = c \cdot \frac{64}{3} = 1 \implies c = \frac{3}{64}

Em seguida, calculamos a esperança de $Z = X^2$ , que é $E[X^2]$ :

E[X^2] = \int_{0}^{4} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{4} x^2 \left( \frac{3}{64} x^2 \right) dx = \frac{3}{64} \int_{0}^{4} x^4 dx

E[X^2] = \frac{3}{64} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{4} = \frac{3}{64} \cdot \frac{1024}{5} = \frac{3 \cdot 16}{5} = \frac{48}{5} = 9,6

Como a média amostral $\bar{Z}$ converge para $E[Z] = 9,6$ quando $n \to \infty$ , a alternativa correta é a letra E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 resulta de um erro no cálculo da integral ou na determinação da constante $c$ . A esperança de $X^2$ exige a integração de $x^4$ , não de $x^2$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 3,2 é obtido se o cálculo da esperança for feito incorretamente, possivelmente ignorando o fator da constante ou o expoente correto da variável.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 6,4 não corresponde ao resultado da esperança da variável $Z = X^2$ para a densidade dada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 9 é um distrator numérico que não possui fundamentação matemática na resolução da integral definida apresentada.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde exatamente ao valor da esperança matemática $E[Z] = 9,6$ , para o qual a média amostral converge conforme a Lei dos Grandes Números.

PEGA ESSA DICA!

Ao lidar com convergência de médias amostrais, lembre-se sempre que o limite é a esperança da variável. O passo crítico é garantir que a função densidade esteja normalizada (integral igual a 1) antes de calcular o valor esperado.

Gabarito: letra E