Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg115729

Variância de um processo AR(1)

Gabarito: letra B. Para um processo autorregressivo de ordem 1, $Y_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t$ , a variância incondicional é dada por $\text{Var}(Y_t) = \dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2}$ . Substituindo $\phi_1 = 0{,}5$ e $\sigma_\varepsilon^2 = 3$ , obtemos $\text{Var}(Y_t) = \dfrac{3}{1 - 0{,}25} = \dfrac{3}{0{,}75} = 4$ .

A questão cobra o cálculo da variância de um processo estacionário AR(1). A estacionariedade é condição essencial para que a variância seja constante e possamos aplicar a fórmula. Para um AR(1), a condição de estacionariedade é $|\phi_1| < 1$ , o que é satisfeito aqui, pois $\phi_1 = 0{,}5$ . Isso garante que a série não exploda e que as propriedades estatísticas não mudem ao longo do tempo.

A dedução da fórmula parte da definição do processo. Tomando a variância de ambos os lados da equação $Y_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t$ , temos:

\text{Var}(Y_t) = \text{Var}(\delta + \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t) = \phi_1^2 \text{Var}(Y_{t-1}) + \text{Var}(\varepsilon_t)

A constante $\delta$ não contribui para a variância, e a covariância entre $Y_{t-1}$ e $\varepsilon_t$ é zero, pois o ruído branco é independente dos valores passados da série. Como o processo é estacionário, $\text{Var}(Y_t) = \text{Var}(Y_{t-1}) = \gamma_0$ . Substituindo:

\gamma_0 = \phi_1^2 \gamma_0 + \sigma_\varepsilon^2 \Rightarrow \gamma_0 (1 - \phi_1^2) = \sigma_\varepsilon^2 \Rightarrow \gamma_0 = \dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2}

Aplicando os valores do enunciado:

\gamma_0 = \dfrac{3}{1 - 0{,}5^2} = \dfrac{3}{1 - 0{,}25} = \dfrac{3}{0{,}75} = 4

A constante $\delta = 1$ não influencia a variância, apenas a média do processo. A média incondicional seria $\mu = \dfrac{\delta}{1 - \phi_1} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$ , mas isso não é pedido.

Caso	Atribuição	Resultado
Cálculo correto	(\phi_1 = 0{,}5), (\sigma_\varepsilon^2 = 3)	$\text{Var}(Y_t) = \frac{3}{1 - 0{,}25} = 4$
Erro comum (alternativa A)	(\sigma_\varepsilon^2 = 3)	$\text{Var}(Y_t) = 3$ (confunde com ruído)
Erro comum (alternativa D)	(\phi_1 = 0{,}5) sem elevar ao quadrado	$\text{Var}(Y_t) = \frac{3}{1 - 0{,}5} = 6$
Erro comum (alternativa C)	(\sigma_\varepsilon^2 + \phi_1^2 = 3 + 0{,}25)	$\text{Var}(Y_t) = 3{,}25$ (não corresponde a 5)
Erro comum (alternativa E)	$(\sigma_\varepsilon^2 + \phi_1^2 + \delta = 3 + 0{,}25 + 1)$	$\text{Var}(Y_t) = 4{,}25$ (não corresponde a 7)

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 é exatamente a variância do ruído branco $\varepsilon_t$ . O candidato que marca esta alternativa confunde a variância do erro com a variância da série $Y_t$ . A variância de $Y_t$ é maior, pois incorpora o efeito acumulado do termo autorregressivo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula da variância incondicional do AR(1), $\text{Var}(Y_t) = \dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2}$ , com $\sigma_\varepsilon^2 = 3$ e $\phi_1 = 0{,}5$ , obtemos $\dfrac{3}{1 - 0{,}25} = \dfrac{3}{0{,}75} = 4$ . Este é o valor correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 5 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Pode surgir de um erro como somar a variância do erro (3) com o quadrado do coeficiente (0,25) ou de uma aplicação incorreta da fórmula.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 6 não tem fundamento nos dados. Poderia resultar de um erro como calcular $\dfrac{3}{1 - 0{,}5} = 6$ , esquecendo de elevar $\phi_1$ ao quadrado no denominador.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 7 também não corresponde a nenhum cálculo correto. Poderia surgir de somar a variância do erro (3) com o quadrado do coeficiente (0,25) e a constante (1), ou de outra combinação incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a variância do ruído branco ( $\sigma_\varepsilon^2 = 3$ ) e a variância da própria série $Y_t$ . Muitos candidatos marcam a letra A por acharem que a variância de $Y_t$ é igual à do erro. Lembre-se: a variância de $Y_t$ é sempre maior, pois o termo autorregressivo amplifica a variabilidade. A fórmula correta é $\text{Var}(Y_t) = \dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2}$ , e não simplesmente $\sigma_\varepsilon^2$ .

PEGA ESSA DICA!

Para processos AR(1), memorize a fórmula da variância incondicional: $\gamma_0 = \dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2}$ . Ela é análoga à fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita, pois a variância acumula os efeitos de todos os choques passados com pesos que decaem geometricamente. Sempre verifique a condição de estacionariedade $|\phi_1| < 1$ antes de aplicar a fórmula.

Gabarito: letra B.