GabaritoA — 1/18;
Gabarito: letra A. A variância de X é 1/18. Como a densidade conjunta é constante sobre o triângulo definido por 0 < x < 1, y > 0 e x + y < 1, a densidade marginal de X é proporcional ao comprimento da "fatia" vertical em cada x, que é (1 - x). Normalizando, obtemos f_X(x) = 2(1 - x) para 0 < x < 1. A partir daí, calculamos E[X] = 1/3 e E[X²] = 1/6, resultando em Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1/6 - 1/9 = 1/18.
A questão envolve uma distribuição conjunta uniforme sobre uma região triangular. A densidade conjunta é constante, mas a densidade marginal de X não é uniforme — ela decresce linearmente, pois a "altura" da região (o intervalo de valores possíveis de Y para cada X) diminui à medida que X aumenta. A área total da região é 1/2 (triângulo retângulo de catetos 1 e 1), então a densidade conjunta é f(x,y) = 2 sobre a região.
Para encontrar a densidade marginal de X, integramos a conjunta em relação a Y. Para um dado x, Y varia de 0 até 1 - x. Assim:
f_X(x) = ∫₀^(1-x) 2 dy = 2(1 - x), para 0 < x < 1.
Essa é uma distribuição Beta(1,2), cuja média é 1/3 e variância é 1/18. Vamos calcular explicitamente:
E[X] = ∫₀¹ x · 2(1 - x) dx = 2∫₀¹ (x - x²) dx = 2(1/2 - 1/3) = 2(1/6) = 1/3.
E[X²] = ∫₀¹ x² · 2(1 - x) dx = 2∫₀¹ (x² - x³) dx = 2(1/3 - 1/4) = 2(1/12) = 1/6.
Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1/6 - (1/3)² = 1/6 - 1/9 = 3/18 - 2/18 = 1/18.
A pegadinha clássica aqui é aplicar a fórmula da variância da distribuição uniforme contínua, (b-a)²/12, diretamente sobre o intervalo (0,1), o que daria 1/12 — que nem está entre as alternativas. Mas a marginal de X não é uniforme; é uma distribuição triangular decrescente. Outro erro comum é esquecer de normalizar a densidade marginal, tratando f_X(x) = (1-x) sem o fator 2, o que levaria a E[X] = 1/4 e E[X²] = 1/12, resultando em Var(X) = 1/48 — também não está nas opções.
Como demonstrado, a densidade marginal de X é f_X(x) = 2(1-x) para 0 < x < 1. Calculando E[X] = 1/3 e E[X²] = 1/6, obtemos Var(X) = 1/6 - 1/9 = 1/18. Este é o valor correto.
1/9 seria a variância de uma distribuição uniforme contínua no intervalo (0, 2/√3), ou mais diretamente, é o quadrado de E[X] = 1/3. O candidato que calcula E[X] corretamente mas erra E[X²], ou que confunde a variância com o quadrado da média, pode chegar a 1/9. Mas o cálculo correto da marginal triangular dá 1/18.
1/6 é o valor de E[X²], não da variância. Quem calcula E[X²] = 1/6 e para por aí, ou confunde E[X²] com Var(X), marca esta alternativa. A variância exige subtrair o quadrado da média: 1/6 - 1/9 = 1/18.
1/4 seria a variância de uma uniforme no intervalo (0, √3), ou a média de uma uniforme em (0, 1/2). Não corresponde a nenhum momento da distribuição marginal de X. É um distrator numérico sem relação direta com os cálculos.
1/3 é o valor de E[X], não da variância. Quem calcula a média corretamente mas esquece de calcular E[X²] e subtrair o quadrado da média pode marcar esta opção. A variância é sempre menor que E[X²] quando a média é positiva.
A banca explora a confusão entre a distribuição conjunta uniforme e a distribuição marginal uniforme. Como a densidade conjunta é constante, muitos candidatos assumem que X também é uniforme em (0,1) e aplicam a fórmula (b-a)²/12 = 1/12 — que nem aparece nas alternativas. Outros confundem E[X] com Var(X), marcando 1/3, ou E[X²] com Var(X), marcando 1/6. A chave é lembrar que a marginal de uma uniforme sobre um triângulo não é uniforme — é uma distribuição triangular (Beta(1,2)), e a variância precisa ser calculada pela definição.
Para problemas de distribuição conjunta uniforme sobre uma região, o caminho é sempre: (1) encontrar a densidade conjunta (constante = 1/área da região); (2) integrar para obter a marginal da variável de interesse; (3) calcular E[X] e E[X²] pela marginal; (4) aplicar Var(X) = E[X²] - (E[X])². Memorize a variância da Beta(1,2) = 1/18, pois ela aparece com frequência em questões de distribuição conjunta sobre triângulos.
Gabarito: letra A
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