Economia · FGV · 2025 | Questão sqc-fg115756

GabaritoC — a função utilidade de bens complementares perfeitos representa preferências homotéticas;

Teoria do Consumidor – Preferências e Funções Utilidade

Gabarito: letra C. A função utilidade de bens complementares perfeitos ( $U(x,y)=\min(ax,by)$ ) é homogênea de grau 1, e portanto representa preferências homotéticas. As demais alternativas contêm erros conceituais: racionalidade exige completude e transitividade (não monotonicidade); preferências lexicográficas não admitem função utilidade contínua; a diversificação decorre da convexidade (não concavidade); e a função $u(x,y)=(x+y)^3$ não é transformação monotônica de $v(x,y)=\sqrt[3]{xy}$ .

Alternativa	Afirmação	Correta?	Motivo
A	Preferências racionais são completas e monotônicas fortes.	❌	Racionalidade exige completude e transitividade, não monotonicidade.
B	Preferências lexicográficas admitem função utilidade contínua.	❌	Violam o axioma da continuidade; só admitem funções descontínuas.
C	Função utilidade de bens complementares perfeitos representa preferências homotéticas.	✅	$U(x,y)=\min(ax,by)$ é homogênea de grau 1, logo homotética.
D	Preferência por diversificação decorre da concavidade da relação de preferências.	❌	Decorre da convexidade das curvas de indiferença, não da concavidade.
E	$u(x,y)=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2$ é transformação monotônica de $v(x,y)=\sqrt[3]{xy}$ .	❌	$u=(x+y)^3$ não é transformação monotônica de $v=(xy)^{1/3}$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

A racionalidade das preferências é definida pelos axiomas de completude e transitividade, e não pela monotonicidade (forte ou fraca). A monotonicidade é um pressuposto adicional (quanto mais, melhor), mas não faz parte da definição de preferências racionais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Preferências lexicográficas violam o axioma da continuidade e, portanto, não podem ser representadas por uma função utilidade contínua. São um exemplo clássico de preferências que admitem representação por utilidade, mas apenas por funções descontínuas.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Bens complementares perfeitos têm função utilidade do tipo $U(x,y)=\min(ax,by)$ . Essa função é homogênea de grau 1, ou seja, $U(tx,ty)=t\,U(x,y)$ , o que caracteriza preferências homotéticas. Preferências homotéticas implicam que a taxa marginal de substituição depende apenas da razão entre as quantidades, não da escala de consumo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A preferência por diversificação (ou aversão a extremos) está associada à convexidade das curvas de indiferença, que por sua vez decorre da convexidade da relação de preferências (ou da quase-concavidade da função utilidade). A concavidade, quando mencionada, refere-se geralmente à função utilidade em si, não à relação de preferências, e não é o conceito correto para explicar a diversificação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função $u(x,y)=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 = (x+y)^3$ não é uma transformação monotônica de $v(x,y)=\sqrt[3]{xy} = (xy)^{1/3}$ . Para que duas funções representem as mesmas preferências, deve existir uma função estritamente crescente $f$ tal que $u=f(v)$ . No caso, cestas como $(1,1)$ e $(2,0)$ produzem o mesmo valor em $u$ (8), mas valores diferentes em $v$ (1 e 0, respectivamente) – portanto as preferências não são equivalentes.

Gabarito: letra C.