Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg115898

Método aritmético de projeção populacional

Gabarito: letra C — a população do censo de 1990 era de 30.000 habitantes. No método aritmético, a população cresce segundo uma progressão aritmética (PA), ou seja, o incremento populacional é constante a cada período. Como o intervalo entre 1990 e 2000 é de 10 anos e entre 2000 e 2030 é de 30 anos, a razão (crescimento por década) é a mesma, o que permite montar uma equação simples e achar o valor inicial.

O método aritmético é um dos modelos clássicos de projeção demográfica usados em saneamento. A ideia central é que a população varia linearmente com o tempo: a cada intervalo de tempo igual, soma-se a mesma quantidade de habitantes. Isso é exatamente uma progressão aritmética, em que cada termo é o anterior somado a uma razão constante $r$ .

No problema, temos três marcos temporais: 1990, 2000 e 2030. Vamos chamar a população de 1990 de $P_{1990}$ . Sabemos que:

$P_{2000} = 60.000$ habitantes;
$P_{2030} = 150.000$ habitantes;
o intervalo de 1990 a 2000 é de 10 anos;
o intervalo de 2000 a 2030 é de 30 anos.

Como o crescimento é aritmético, o incremento em 30 anos é o triplo do incremento em 10 anos. Assim:

P_{2030} - P_{2000} = 3 \times (P_{2000} - P_{1990})

Substituindo os valores conhecidos:

150.000 - 60.000 = 3 \times (60.000 - P_{1990})

90.000 = 3 \times (60.000 - P_{1990})

Dividindo ambos os lados por 3:

30.000 = 60.000 - P_{1990}

P_{1990} = 60.000 - 30.000 = 30.000

Portanto, a população em 1990 era de 30.000 habitantes.

Outra forma de enxergar: a razão da PA (crescimento por década) é $r = 30.000$ habitantes/década, pois de 1990 a 2000 cresceu 30.000 e de 2000 a 2030 (3 décadas) cresceu 90.000, confirmando a constância.

1P1990 = ?
2P2000 = 60.000
3P2030 = 150.000
4Incremento constante por década
5P1990 = 30.000

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Alternativa A — ❌ Incorreta

20.000 habitantes resultaria em um crescimento de 40.000 entre 1990 e 2000, e de 90.000 entre 2000 e 2030 — os incrementos não seriam proporcionais ao tempo (40.000 em 10 anos ≠ 30.000 por década). Esse valor não satisfaz a condição de crescimento aritmético.

Alternativa B — ❌ Incorreta

25.000 habitantes daria um incremento de 35.000 na primeira década, mas o correto é 30.000 por década. O valor não fecha a equação.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

30.000 habitantes é exatamente o valor que torna o crescimento constante: de 1990 para 2000 cresce 30.000, e de 2000 para 2030 cresce 90.000 (3 × 30.000), mantendo a razão de 30.000 por década. A conta confirma: $P_{1990} = 60.000 - 30.000 = 30.000$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

35.000 habitantes implicaria um crescimento de 25.000 na primeira década, o que não é compatível com o crescimento de 90.000 nas três décadas seguintes (a razão seria diferente).

Alternativa E — ❌ Incorreta

40.000 habitantes daria um incremento de apenas 20.000 entre 1990 e 2000, enquanto o correto é 30.000 por década. O valor não satisfaz a proporcionalidade do método aritmético.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o método aritmético (crescimento linear, PA) e o método geométrico (crescimento percentual, PG). Se o candidato tentasse aplicar porcentagem ou regra de três composta, chegaria a um valor diferente. Aqui, a chave é perceber que o incremento é constante por década: 30.000 habitantes a cada 10 anos. Fique atento: em questões de projeção populacional, o enunciado sempre indica qual método usar — aritmético = soma constante, geométrico = multiplicação constante.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rápido, monte a equação da PA: $P_{2030} = P_{1990} + 4 \times r$ , onde $r$ é o crescimento por década. Como $P_{2000} = P_{1990} + r$ , temos $P_{2030} = P_{2000} + 3r$ . Isolando $r$ a partir dos dados de 2000 e 2030, você encontra o valor de 1990 sem decorar fórmula. Treine esse raciocínio com outros horizontes de projeto (20, 25 anos) para ganhar agilidade.

Gabarito: letra C