Professor de Educação Básica - Habilitação: Matemática
As funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x² - 4x + 3 estão definidas no intervalo [1, 6]. Considere Im(f) e Im(g) os conjuntos-imagem das funções f e g, respectivamente.Em relação a esses conjuntos-imagem, tem-se que
AIm(f) é um subconjunto de Im(g).
BIm(f) e Im(g) são conjuntos disjuntos.
CIm(f) ∩ Im(g) = {5, 15}.
DIm(f) ∪ Im(g) = [0, 15].
EIm(f) = Im(g) = R, em que R é o conjunto dos números reais.
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GabaritoA — Im(f) é um subconjunto de Im(g).
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Conjuntos-imagem de funções afim e quadrática
Gabarito: letra A. A imagem de f no intervalo [1, 6] é o intervalo [5, 15], enquanto a imagem de g é o intervalo [0, 15]; como [5, 15] está contido em [0, 15], Im(f) é subconjunto de Im(g). A alternativa A é a única que descreve corretamente essa relação de inclusão.
Para resolver, precisamos determinar o conjunto-imagem de cada função restrita ao domínio [1, 6]. A função f(x) = 2x + 3 é uma função afim crescente (coeficiente angular 2 > 0), então seus valores mínimo e máximo no intervalo fechado ocorrem nos extremos: f(1) = 5 e f(6) = 15. Logo, Im(f) = [5, 15].
A função g(x) = x² − 4x + 3 é uma parábola com concavidade para cima (a = 1 > 0). Seu vértice está em x_v = −b/(2a) = 4/2 = 2, que pertence ao intervalo [1, 6]. O valor mínimo é g(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Nos extremos: g(1) = 0 e g(6) = 36 − 24 + 3 = 15. Como a parábola cresce a partir do vértice, o máximo no intervalo é 15. Portanto, Im(g) = [−1, 15].
Agora compare os dois intervalos: Im(f) = [5, 15] e Im(g) = [−1, 15]. Todo elemento de Im(f) (de 5 a 15) também está em Im(g) (de −1 a 15), pois 5 > −1. Logo, Im(f) ⊆ Im(g). As demais alternativas erram ao afirmar que são disjuntos, que a interseção é apenas {5, 15}, que a união é [0, 15] ou que ambos são iguais a R.
Conjuntos-imagem de funções — só Im(f): [5,15]; só Im(g): [-1,5); Im(f)∩Im(g): [5,15]
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, Im(f) = [5, 15] e Im(g) = [−1, 15]. Como 5 > −1, o intervalo [5, 15] está inteiramente contido em [−1, 15]. Portanto, Im(f) é subconjunto de Im(g). A alternativa está correta.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que Im(f) e Im(g) são disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum. Isso é falso: por exemplo, 5 ∈ Im(f) e 5 ∈ Im(g) (pois g(1) = 0 e g(6) = 15, e a função é contínua, assumindo todos os valores entre −1 e 15). Na verdade, a interseção é o próprio intervalo [5, 15], que é não vazio.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que Im(f) ∩ Im(g) = {5, 15}. A interseção não é apenas dois pontos: como Im(f) = [5, 15] e Im(g) = [−1, 15], a interseção é o intervalo contínuo [5, 15], que contém infinitos valores (5, 6, 7, ..., 15). Os números 5 e 15 são apenas os extremos, não os únicos elementos.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que Im(f) ∪ Im(g) = [0, 15]. A união correta é [−1, 15], pois Im(g) inclui valores negativos até −1 (por exemplo, g(2) = −1). O intervalo [0, 15] exclui os valores entre −1 e 0, que pertencem a Im(g). Portanto, a união é maior que [0, 15].
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que Im(f) = Im(g) = R. Isso é absurdo: as funções estão definidas apenas no intervalo [1, 6], e suas imagens são intervalos limitados, não todo o conjunto dos reais. Além disso, Im(f) ≠ Im(g), pois Im(f) = [5, 15] e Im(g) = [−1, 15].
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre o domínio e a imagem. O candidato pode calcular a imagem de g como se o domínio fosse todo R, obtendo [−1, +∞), e então concluir erroneamente que Im(f) não está contida em Im(g). Mas como o domínio é restrito a [1, 6], a imagem de g é limitada superiormente por 15, e a inclusão se verifica. Fique atento: sempre verifique se o vértice da parábola está dentro do intervalo dado.
PEGA ESSA DICA!
Para funções contínuas em intervalos fechados, a imagem é um intervalo cujos extremos são o mínimo e o máximo da função no intervalo. Para a função afim, basta calcular nos extremos; para a quadrática, verifique se o vértice está no intervalo e compare os valores nos extremos com o valor no vértice.