Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2025

Sistemas lineares e representação matricial

Gabarito: letra E. A equação matricial que representa um sistema linear tem a forma $A \cdot X = B$, em que $A$ é a matriz dos coeficientes, $X$ é a matriz coluna das incógnitas e $B$ é a matriz coluna dos termos independentes. A alternativa correta é a que monta exatamente essa estrutura com os coeficientes, incógnitas e termos independentes do sistema dado. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, equações do tipo $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$, onde os $a_i$ são os coeficientes, os $x_i$ são as incógnitas e $b$ é o termo independente. A representação matricial é uma forma compacta de escrever esse sistema, separando os coeficientes (matriz $A$), as incógnitas (vetor $X$) e os termos independentes (vetor $B$). A regra para montar a equação matricial é direta: cada linha da matriz $A$ contém os coeficientes de uma equação, na ordem das incógnitas; o vetor $X$ contém as incógnitas na mesma ordem; e o vetor $B$ contém os termos independentes de cada equação. A multiplicação $A \cdot X$ deve reproduzir exatamente o lado esquerdo de cada equação do sistema. Por exemplo, para o sistema:

a representação matricial seria:

A pegadinha clássica da banca é inverter a ordem dos elementos, colocar os termos independentes na matriz dos coeficientes, ou trocar a posição das incógnitas. É preciso conferir, linha por linha, se a multiplicação da matriz $A$ pelo vetor $X$ reproduz exatamente o sistema original.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta os coeficientes em ordem trocada ou os termos independentes na posição errada. A matriz dos coeficientes deve espelhar exatamente os coeficientes de cada equação, na ordem das incógnitas $x, y, z, w$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Pode conter um erro de sinal em algum coeficiente ou termo independente. Cada elemento da matriz $A$ e do vetor $B$ deve corresponder exatamente ao valor que aparece no sistema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Possivelmente inverte a matriz dos coeficientes com a matriz das incógnitas, ou coloca os termos independentes como coeficientes. A estrutura correta é sempre $A \cdot X = B$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Pode apresentar a matriz dos coeficientes transposta ou com os elementos deslocados. A ordem das linhas e colunas deve seguir a ordem das equações e das incógnitas.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa que monta corretamente a equação matricial $A \cdot X = B$, com a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos independentes na ordem e com os valores exatos do sistema.

Gabarito: letra E