Professor de Educação Básica - Habilitação: Matemática
O gráfico a seguir representa uma função trigonométrica no intervalo [0, 2π]:Elaborado pelo autor.A expressão algébrica dessa função é f(x) = a + b ∙ cosx.Os valores de a e b são, respectivamente,
A1 e 4.
B2 e 3.
C3 e 2.
D4 e 1.
E6 e – 1.
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GabaritoB — 2 e 3.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a a = 2 e b = 3 — alternativa B.
A ideia por trás
A função cosseno pura, cos(x), oscila entre -1 e 1, com valor médio 0. Quando escrevemos f(x) = a + b·cos(x), o parâmetro b amplia essa oscilação (multiplica o cosseno), e o parâmetro a desloca o gráfico verticalmente (soma uma constante). O resultado é uma onda que oscila entre a - b (mínimo) e a + b (máximo), com eixo médio em y = a.
A relação entre máximo, mínimo, a e b é: máximo = a + b, mínimo = a - b. A amplitude b é metade da distância entre máximo e mínimo, e a translação vertical a é o ponto médio entre eles. Se b = 3, o cosseno, que ia de -1 a 1, passa a ir de -3 a 3; se depois somamos a = 2, tudo sobe 2 unidades: o mínimo vira 2 - 3 = -1 e o máximo vira 2 + 3 = 5.
Esta questão cobra exatamente essa relação: a partir do gráfico, precisamos identificar o máximo e o mínimo para calcular a e b. A pegadinha é inverter os papéis: a é a translação vertical (eixo médio) e b é a amplitude (metade da distância entre máximo e mínimo).
O que a questão dá
gráfico de f(x) = a + b·cos(x) no intervalo [0, 2π]
máximo da função: 5
mínimo da função: -1
O que queremos: os valores de a e b
Passo 1 — Ler o máximo e o mínimo do gráfico
O gráfico mostra a oscilação da função; o ponto mais alto é o máximo e o mais baixo é o mínimo. Esses dois valores são a chave para achar a e b, porque eles definem o intervalo de variação da função.
máximo = 5, mínimo = -1
NÃO CAIA NESSA!
Ler o máximo como 5 e o mínimo como 1, esquecendo que o gráfico desce abaixo de zero.
Passo 2 — Calcular a amplitude b
A amplitude é a metade da distância entre o máximo e o mínimo. Ela mede o quanto a onda se afasta do eixo médio, e é exatamente o valor de b na expressão.
Por que esta fórmula: A distância entre máximo e mínimo é (máximo - mínimo), e a amplitude é metade disso, pois o eixo médio fica no meio.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 · = passo 1: -1
NÃO CAIA NESSA!
Usar a diferença inteira (6) como amplitude, em vez de dividir por 2.
Passo 3 — Calcular a translação vertical a
A translação vertical é o valor médio da função, ou seja, o ponto central da oscilação. Ela é o valor de a na expressão.
Por que esta fórmula: O eixo médio fica exatamente no meio entre o máximo e o mínimo, então é a média aritmética deles.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 · = passo 1: -1
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a com o máximo (5) ou com a amplitude (3).
Elaborado pelo autor.A expressão algébrica dessa função é f(x) = a + b ∙ cosx.Os valores de a e b são, respectivamente,