Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg119866

Potenciação e fatoração

Gabarito: letra D — a expressão $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5$ simplifica para $2^{21}$ , pois somamos os termos com $8^5$ e reescrevemos $8^6$ como $8 \cdot 8^5$ , obtendo $15 \cdot 8^5$ , que é igual a $2^{21}$ .

A questão testa a habilidade de fatorar expressões com potências de mesma base e de converter bases para comparar com as alternativas. Vamos por partes.

Primeiro, observe que dois termos têm $8^5$ : o primeiro e o terceiro. O termo do meio tem $8^6$ , que pode ser reescrito como $8 \cdot 8^5$ (pois $8^6 = 8^{5+1} = 8^5 \cdot 8$ ). Assim:

3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5 = 3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8 \cdot 8^5 + 5 \cdot 8^5

Colocando $8^5$ em evidência:

= (3 + 7 \cdot 8 + 5) \cdot 8^5 = (3 + 56 + 5) \cdot 8^5 = 64 \cdot 8^5

Agora, $64 = 2^6$ e $8 = 2^3$ , então $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ . Portanto:

64 \cdot 8^5 = 2^6 \cdot 2^{15} = 2^{21}

A pegadinha clássica aqui é somar os expoentes quando se soma potências de mesma base — o que é um erro gravíssimo. Só podemos somar os expoentes quando estamos multiplicando potências de mesma base. Na soma, devemos fatorar o termo comum.

1Reescrever 8⁶ = 8·8⁵
2Fatorar 8⁵ em evidência
3Somar coeficientes (3+56+5=64)
4Converter: 64·8⁵ = 2⁶·2¹⁵
5Somar expoentes: 2²¹

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $15 \cdot 8^5$ . Isso seria o resultado se não houvesse o termo $7 \cdot 8^6$ — ou seja, se a expressão fosse apenas $3 \cdot 8^5 + 5 \cdot 8^5$ . Mas o termo do meio é $7 \cdot 8^6$ , que é sete vezes maior que $7 \cdot 8^5$ . O candidato que soma os coeficientes $3 + 7 + 5 = 15$ e mantém $8^5$ comete esse erro, ignorando que $8^6 \neq 8^5$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $15 \cdot 8^{16}$ . Aqui há dois erros: primeiro, o coeficiente $15$ (mesmo erro da alternativa A); segundo, o expoente $16$ — que sugere que o candidato somou os expoentes $5 + 6 + 5 = 16$ , como se estivesse multiplicando potências. Isso é a pegadinha clássica: na soma, não se somam expoentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $4^{14}$ . Vamos verificar: $4^{14} = (2^2)^{14} = 2^{28}$ , que é muito maior que $2^{21}$ . O candidato pode ter chegado a $4^{14}$ ao converter $8$ para $2^3$ e depois tentar igualar as bases, mas errou no expoente. Na verdade, $8^5 = 2^{15}$ e $64 = 2^6$ , então o resultado é $2^{21}$ , não $2^{28}$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a expressão vale $2^{21}$ . A alternativa está correta porque:

3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5 = 64 \cdot 8^5 = 2^6 \cdot (2^3)^5 = 2^6 \cdot 2^{15} = 2^{21}

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $2^7 + 4^7$ . Vamos calcular: $2^7 = 128$ e $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} = 16384$ , então $2^7 + 4^7 = 16512$ . Já $2^{21} = 2097152$ . São valores completamente diferentes. O candidato pode ter tentado converter tudo para base 2, mas errou ao somar as potências em vez de fatorar.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre soma e multiplicação de potências. Na soma, não se somam expoentes; na multiplicação, sim. Aqui, o candidato apressado soma $5+6+5=16$ e cai na alternativa B, ou soma os coeficientes e cai na A. O caminho seguro é sempre fatorar o termo comum antes de qualquer outra operação.

PEGA ESSA DICA!

Quando aparecer uma expressão com potências de mesma base sendo somadas, coloque a menor potência em evidência e resolva o que sobra. Depois, converta tudo para a base que aparecer nas alternativas (aqui, base 2). Treine esse padrão: ele cai muito em concursos.

Gabarito: letra D