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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
fg119868
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-MT
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica - Habilitação: Matemática
Em uma urna são colocadas bolinhas numeradas com todos os números de três algarismos (números da ordem das centenas). Retira-se uma bolinha ao acaso.Qual é a probabilidade de que o número seja ímpar e tenha pelo menos dois algarismos iguais?
  1. A1/6
  2. B2/15
  3. C7/60
  4. D11/90
  5. E13/90
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GabaritoE — 13/90

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 13/90 (alternativa E).

A ideia por trás

A probabilidade clássica é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Aqui, o espaço amostral são todos os números de três algarismos (100 a 999), totalizando 900 números, pois a centena não pode ser zero. O evento pedido combina duas condições: ser ímpar (último algarismo 1, 3, 5, 7 ou 9) e ter pelo menos dois algarismos iguais. Para contar os casos favoráveis, separamos em duas situações mutuamente exclusivas: exatamente dois algarismos iguais (com o terceiro diferente) e os três algarismos iguais. A contagem exige cuidado com a restrição de a centena não ser zero e com a paridade do algarismo repetido.

O que a questão dá

  • números de três algarismos: de 100 a 999

  • condição: número ímpar e com pelo menos dois algarismos iguais

O que queremos: a probabilidade de retirar um número ímpar com pelo menos dois algarismos iguais

Passo 1 — Contar o total de números de três algarismos

A probabilidade é casos favoráveis dividido por casos possíveis. Precisamos primeiro saber quantos números existem no total, pois isso será o denominador da fração.

Por que esta fórmula: Os números de três algarismos vão de 100 a 999. A centena pode ser de 1 a 9 (9 opções), a dezena de 0 a 9 (10 opções) e a unidade de 0 a 9 (10 opções). Pelo princípio multiplicativo, o total é 9 × 10 × 10.

Ntotal=9×10×10N_{total} = 9 \times 10 \times 10

De onde vem cada valor: 99 = centena: 1 a 9 (não pode ser 0) · 1010 = unidade: 0 a 9

Ntotal=9×10×10=900 nuˊmerosN_{total} = 9 \times 10 \times 10 = \boxed{900\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 1000 (de 000 a 999) esquecendo que a centena não pode ser zero.

Passo 2 — Contar os números com exatamente dois algarismos iguais

O evento pede 'pelo menos dois iguais', então precisamos contar os casos com exatamente dois iguais e os com três iguais. Vamos começar pelos de exatamente dois iguais, separando em três subcasos conforme a posição do algarismo repetido.

Por que esta fórmula: Para cada subcaso, contamos as possibilidades para cada posição, respeitando as restrições: a centena não pode ser zero e a unidade deve ser ímpar (1, 3, 5, 7, 9).

125 nuˊmeros\boxed{125\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar os três subcasos (AAB, ABA, ABB) ou errar a contagem da unidade ímpar.

Passo 3 — Contar os números com três algarismos iguais

Além dos casos com exatamente dois iguais, há os números com os três algarismos iguais. Como o número deve ser ímpar, o algarismo repetido deve ser ímpar.

Por que esta fórmula: Os números de três algarismos iguais são da forma AAA. Para serem ímpares, A deve ser ímpar: 1, 3, 5, 7, 9. Portanto, há 5 números.

Ntriplos=5N_{triplos} = 5

De onde vem cada valor: 55 = algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9

Ntriplos=5=5 nuˊmerosN_{triplos} = 5 = \boxed{5\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir números pares como 222, 444, etc., que não são ímpares.

Passo 4 — Somar os casos favoráveis

Os casos com exatamente dois iguais e os com três iguais são mutuamente exclusivos, então o total de casos favoráveis é a soma deles.

Por que esta fórmula: A soma é direta: 125 + 5 = 130.

Nfavoraveis=Ndois iguais+NtriplosN_{favoraveis} = N_{dois\ iguais} + N_{triplos}

De onde vem cada valor: Ndois iguaisN_{dois\ iguais} = passo 2: 125 · NtriplosN_{triplos} = passo 3: 5

Nfavoraveis=125+5=130 nuˊmerosN_{favoraveis} = 125 + 5 = \boxed{130\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois casos ou contar algum número duas vezes.

Passo 5 — Calcular a probabilidade

Com o total de casos possíveis (passo 1) e o total de casos favoráveis (passo 4), podemos calcular a probabilidade como a razão entre eles.

Por que esta fórmula: A probabilidade clássica é definida como o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

P=NfavoraveisNtotalP = \frac{N_{favoraveis}}{N_{total}}

De onde vem cada valor: NfavoraveisN_{favoraveis} = passo 4: 130 · NtotalN_{total} = passo 1: 900

P=130900=13 /90P = \frac{130}{900} = \boxed{13\ /90}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração ou errar na divisão.

Resposta: 13/90 (alternativa E)

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