Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2025

Análise Combinatória: princípios aditivo e multiplicativo

Gabarito: letra D — os problemas II, III e V são os que exigem, em suas resoluções, tanto o princípio aditivo quanto o multiplicativo. O princípio aditivo é usado quando há decisões mutuamente excludentes (conectivo "OU"), enquanto o multiplicativo é usado quando há decisões sucessivas e independentes (conectivo "E").

A questão pede para identificar, entre cinco problemas de contagem, quais utilizam simultaneamente os dois princípios fundamentais da contagem. Vamos analisar cada um:

• Problema I: Escolher 3 pontos entre 10 para formar um triângulo. A ordem não importa, então é uma combinação simples: $C_{10,3} = \frac{10!}{3!7!} = 120$. Usa apenas o princípio multiplicativo (ou a fórmula de combinação, que deriva dele).

• Problema II: Triângulos com vértices em duas retas paralelas. Há dois casos mutuamente excludentes: (a) 2 pontos em r e 1 em s, ou (b) 1 ponto em r e 2 em s. Cada caso usa o princípio multiplicativo (escolher os pontos em cada reta), e os casos são somados (princípio aditivo).

• Problema III: Escolher 3 números de 1 a 99 com soma par. A soma é par se os três forem pares (P+P+P) ou se dois forem ímpares e um par (I+I+P). São dois casos mutuamente excludentes, cada um resolvido com combinações (princípio multiplicativo), e o total é a soma dos casos (princípio aditivo).

• Problema IV: Escolher 6 questões entre 10. É uma combinação simples: $C_{10,6} = 210$. Usa apenas o princípio multiplicativo.

• Problema V: Números pares com 2 ou 3 algarismos distintos. Há dois casos mutuamente excludentes: números de 2 algarismos e números de 3 algarismos. Cada caso é resolvido com o princípio multiplicativo (escolher cada algarismo), e o total é a soma dos casos (princípio aditivo).

Portanto, os problemas que usam ambos os princípios são II, III e V.

Problema I — ❌ Não usa ambos

Escolher 3 pontos entre 10 para formar um triângulo é uma combinação simples: $C_{10,3} = 120$. A ordem dos vértices não importa, e não há casos mutuamente excludentes a somar. Usa apenas o princípio multiplicativo (ou a fórmula de combinação).

Problema II — ✅ Usa ambos

Há dois casos mutuamente excludentes:

• 2 pontos em r e 1 em s: $C_{8,2} \times C_{6,1} = 28 \times 6 = 168$ (princípio multiplicativo)

• 1 ponto em r e 2 em s: $C_{8,1} \times C_{6,2} = 8 \times 15 = 120$ (princípio multiplicativo)

Total: $168 + 120 = 288$ (princípio aditivo).

Problema III — ✅ Usa ambos

A soma de três números é par se:

• Todos pares: $C_{49,3}$ (há 49 pares de 1 a 99)

• Dois ímpares e um par: $C_{50,2} \times C_{49,1}$ (há 50 ímpares)

Total: $C_{49,3} + C_{50,2} \times C_{49,1}$ (princípio aditivo, com cada termo usando o multiplicativo).

Problema IV — ❌ Não usa ambos

Escolher 6 questões entre 10 é uma combinação simples: $C_{10,6} = 210$. Não há casos mutuamente excludentes a somar. Usa apenas o princípio multiplicativo.

Problema V — ✅ Usa ambos

Há dois casos mutuamente excludentes:

• Números de 2 algarismos pares: o último algarismo deve ser par (0, 2, 4, 6, 8 — 5 opções), e o primeiro não pode ser 0 (9 opções). Total: $9 \times 5 = 45$ (princípio multiplicativo).

• Números de 3 algarismos pares: o último deve ser par (5 opções), o primeiro não pode ser 0 (9 opções), e o do meio pode ser qualquer um dos 8 restantes. Total: $9 \times 8 \times 5 = 360$ (princípio multiplicativo).

Total: $45 + 360 = 405$ (princípio aditivo).

Gabarito: letra D