Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

Isometrias na obra Snakes de Escher

Gabarito: letra E. A xilogravura Snakes (1969) apresenta simetria de rotação de 120°, pois a composição circular é dividida em três setores congruentes que se repetem ao redor do centro — uma rotação de $\frac{360°}{3} = 120°$ leva a figura a coincidir consigo mesma. A obra não possui eixos de simetria axial (reflexão) nem simetria central de 180°, o que elimina as demais alternativas.

O que são isometrias?

Isometrias são transformações geométricas que preservam distâncias e ângulos, ou seja, a figura transformada é congruente à original. As principais isometrias no plano são:

• Reflexão axial (simetria axial): espelhamento em relação a uma reta (eixo de simetria). A figura e sua imagem são como objeto e reflexo num espelho.

• Rotação: giro da figura em torno de um ponto fixo (centro de rotação) por um determinado ângulo. Se a figura coincide consigo mesma após uma rotação de $\theta$, dizemos que ela tem simetria de rotação de $\theta$.

• Translação: deslocamento da figura numa direção, sem rotação ou reflexão.

A obra Snakes de Escher é uma composição circular com três cobras entrelaçadas que se repetem ao redor do centro. Essa estrutura gera uma simetria de rotação de 120°, pois ao girar a imagem em $\frac{1}{3}$ de volta completa, cada cobra ocupa a posição da anterior. Não há eixos de simetria axial, pois a figura não pode ser espelhada em relação a uma reta sem alterar a orientação das cobras.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há reflexão axial e somente um eixo de simetria. A obra Snakes não possui eixos de simetria axial, pois a composição é circular e as cobras estão entrelaçadas de forma que não há uma reta que divida a figura em duas metades espelhadas. A simetria presente é de rotação, não de reflexão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que há reflexão axial e três eixos de simetria. Assim como a alternativa A, esta opção erra ao afirmar a existência de eixos de simetria axial. A obra não possui reflexão axial, e a simetria de rotação de 120° não implica em eixos de simetria.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há reflexão em relação a um ponto situado no interior da obra. Reflexão em relação a um ponto é uma simetria central, que corresponde a uma rotação de 180°. A obra Snakes não possui simetria central, pois a rotação de 180° não leva a figura a coincidir consigo mesma — a rotação correta é de 120°.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que há rotação e o ângulo de rotação é de 180°. A obra possui simetria de rotação, mas o ângulo é de 120°, não de 180°. Uma rotação de 180° (simetria central) não é a simetria presente na obra, pois a composição é dividida em três setores congruentes, não em dois.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que há rotação e o ângulo de rotação é de 120°. A obra Snakes é composta por três cobras entrelaçadas que se repetem ao redor do centro, formando três setores congruentes. Uma rotação de $\frac{360°}{3} = 120°$ leva a figura a coincidir consigo mesma, caracterizando a simetria de rotação de 120°.

Gabarito: letra E