Questão de Matemática — Funções — FGV 2025

Funções: área e perímetro de polígonos regulares

Gabarito: letra D. A área de um polígono regular é uma função quadrática do lado (porque envolve o produto de duas dimensões lineares), enquanto o perímetro é uma função afim do lado (porque é a soma de comprimentos, todos proporcionais ao lado).

A questão explora a relação entre a medida do lado de um polígono regular e duas grandezas: a área e o perímetro. Para um polígono regular de $n$ lados, o perímetro é dado por $P = n \cdot \ell$, em que $\ell$ é a medida do lado. Como $n$ é uma constante, o perímetro é uma função linear (afim) de $\ell$: $g(\ell) = n\ell$. Já a área de um polígono regular pode ser expressa como $A = \frac{n \cdot \ell \cdot a}{2}$, em que $a$ é o apótema. O apótema, por sua vez, é proporcional ao lado: $a = k \cdot \ell$, com $k$ constante para um dado polígono. Substituindo, obtemos $A = \frac{n \cdot k \cdot \ell^2}{2}$, ou seja, a área é uma função quadrática de $\ell$: $f(\ell) = c \cdot \ell^2$, com $c = \frac{nk}{2}$.

A distinção central é que o perímetro cresce linearmente com o lado, enquanto a área cresce com o quadrado do lado. Isso é intuitivo: se você dobra o lado de um quadrado, o perímetro dobra, mas a área quadruplica. Essa é a essência da habilidade da BNCC citada no enunciado: reconhecer que a área é uma função quadrática e o perímetro é uma função afim.

A pegadinha da banca está em inverter as classificações ou em afirmar que ambas são do mesmo tipo. O candidato que não percebe a relação de proporcionalidade direta (perímetro) versus proporcionalidade ao quadrado (área) pode cair nas alternativas que trocam os papéis ou que generalizam incorretamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que f e g são funções afins. O erro está em classificar a área como afim. A área de um polígono regular não é linear no lado; ela é proporcional ao quadrado do lado. Por exemplo, a área de um quadrado de lado $\ell$ é $\ell^2$, uma função quadrática, não afim.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que f e g são funções quadráticas. O erro está em classificar o perímetro como quadrático. O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados, todos iguais a $\ell$, resultando em $n\ell$, que é uma função linear (afim), não quadrática.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que f é uma função afim e g uma função quadrática. Aqui os papéis estão invertidos. Na verdade, é o contrário: a área ($f$) é quadrática e o perímetro ($g$) é afim. Essa é a inversão clássica que a banca explora.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que f é uma função quadrática e g uma função afim. Isso está correto: a área de um polígono regular é proporcional ao quadrado do lado ($f(\ell) = c\ell^2$), e o perímetro é proporcional ao lado ($g(\ell) = n\ell$). Essa é a classificação correta das funções envolvidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que f e g são funções exponenciais. Não há base para essa classificação. Funções exponenciais têm a variável no expoente (ex.: $2^x$), o que não ocorre aqui. Tanto a área quanto o perímetro são funções polinomiais do lado, não exponenciais.

Gabarito: letra D