Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

Hexágono Regular Inscrito: Perímetros e Áreas

Gabarito: letra C. As razões pedidas são 4/5 (perímetros) e 2/3 (áreas). Isso porque, no hexágono regular inscrito, o lado é igual ao raio da circunferência; o paralelogramo DEOI tem perímetro 4R e o trapézio FGHI tem perímetro 5R, enquanto as áreas são, respectivamente, R²√3 e (3R²√3)/2 — a razão entre elas é 2/3.

O hexágono regular é o polígono regular mais especial: ele pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros congruentes, todos com vértice no centro O. Isso significa que o lado do hexágono (ℓ) é exatamente igual ao raio R da circunferência circunscrita. Essa propriedade é a chave de toda a questão — sem ela, não há como relacionar as medidas das figuras internas com o raio.

Vamos entender as figuras. O hexágono DEFGHI tem vértices consecutivos D, E, F, G, H, I. O paralelogramo DEOI é formado pelos vértices D, E, O e I — ou seja, dois lados consecutivos do hexágono (DE e EI) e os raios (DO e OI). O trapézio FGHI é formado pelos vértices F, G, H e I — três lados consecutivos do hexágono (FG, GH, HI) e a diagonal FI.

Para o paralelogramo DEOI: os lados são DE = ℓ = R, EI = ℓ = R, DO = R (raio) e OI = R (raio). Portanto, o perímetro é 4R. A área de um paralelogramo é base × altura. A base é DE = R. A altura é a distância entre as bases DE e OI, que é o apótema do hexágono, a₆ = (R√3)/2. Logo, a área é R × (R√3)/2 = (R²√3)/2.

Para o trapézio FGHI: as bases são FG = ℓ = R e HI = ℓ = R, e os lados não paralelos são GH = ℓ = R e FI. A diagonal FI conecta dois vértices com dois lados de distância. No hexágono regular, essa diagonal menor (que pula um vértice) tem medida R√3. Portanto, o perímetro é R + R + R + R√3 = R(3 + √3). Mas a alternativa correta indica 5R — vamos verificar: a diagonal FI, na verdade, é a soma de dois raios? Não. FI é a diagonal que liga F a I, passando por G e H. FI = FG + GH + HI? Não, FI é um segmento reto. No hexágono regular, a diagonal que pula um vértice (como FI) mede R√3. Então o perímetro seria R(3 + √3), que não é 5R. Há um erro na minha análise inicial. Vamos refazer.

Na verdade, o trapézio FGHI tem bases FG = R e HI = R, e os lados não paralelos são GH = R e FI. A diagonal FI, no hexágono regular, é a diagonal que liga dois vértices com um vértice entre eles. Essa diagonal mede R√3. Portanto, o perímetro é R + R + R + R√3 = R(3 + √3). Isso não corresponde a 5R. A alternativa C diz 4/5, então o perímetro do paralelogramo é 4R e o do trapézio é 5R. Para o trapézio ter perímetro 5R, precisamos que FI = 2R. Mas FI não é um diâmetro. Vamos reconsiderar a figura.

Talvez o trapézio FGHI seja formado por F, G, H, I, mas a base FI seja a diagonal que passa pelo centro? Não, F e I não são opostos. Os vértices opostos são D e G, E e H, F e I. Então FI é uma diagonal que passa pelo centro! No hexágono regular, as diagonais que ligam vértices opostos passam pelo centro e medem 2R. Portanto, FI = 2R. Assim, o perímetro do trapézio é FG + GH + HI + FI = R + R + R + 2R = 5R. Perfeito.

Agora a área do trapézio: bases FG = R e HI = R, altura é a distância entre elas, que é o apótema a₆ = (R√3)/2. Área = ((B + b) × h)/2 = ((R + R) × (R√3)/2)/2 = (2R × R√3/2)/2 = (R²√3)/2. Mas a razão entre as áreas seria 1, não 2/3. Vamos verificar a área do paralelogramo novamente. O paralelogramo DEOI tem base DE = R e altura a₆ = (R√3)/2, então área = (R²√3)/2. O trapézio FGHI tem área (R²√3)/2 também. A razão seria 1, não 2/3. Há um erro.

Vamos recalcular a área do trapézio. O trapézio FGHI tem bases FG = R e HI = R, mas a altura não é o apótema. A altura é a distância entre as bases, que é a distância entre os lados FG e HI. No hexágono, a distância entre lados opostos é 2 × apótema = R√3. Mas FG e HI não são lados opostos; são lados separados por um lado. A distância entre FG e HI é o apótema? Não. Vamos desenhar mentalmente: F, G, H, I são consecutivos. FG e HI são lados opostos? Não, são lados que não são adjacentes, mas há um lado entre eles (GH). A distância entre FG e HI é a distância entre duas retas paralelas que contêm esses lados. No hexágono regular, a distância entre lados que não são opostos é o apótema? Não. A distância entre FG e HI é a distância entre o lado FG e o lado HI, que são paralelos? Sim, em um hexágono regular, lados opostos são paralelos. FG e HI são opostos? F e G são consecutivos, H e I são consecutivos. FG e HI são lados que estão em posições opostas? Sim, FG e HI são lados opostos do hexágono. Portanto, a distância entre eles é 2 × apótema = R√3. Então a área do trapézio é ((R + R) × R√3)/2 = R²√3. A área do paralelogramo é (R²√3)/2. A razão é 1/2, não 2/3.

Há uma inconsistência. Vamos verificar a área do paralelogramo DEOI. Os vértices são D, E, O, I. DE é um lado do hexágono, O é o centro, I é um vértice. O paralelogramo tem lados DE e OI paralelos? DE é um lado, OI é um raio. Eles não são paralelos. Na verdade, DEOI é um losango? DE = R, EO = R, OI = R, ID = R. Todos os lados são R, então é um losango. A área de um losango é (diagonal maior × diagonal menor)/2. As diagonais são DO e EI. DO = R, EI = R? EI é um lado do hexágono, então EI = R. Mas as diagonais de um losango não são os lados. DO é um raio, EI é um lado. Eles não são as diagonais. As diagonais do losango DEOI são DI e EO. DI é uma diagonal do hexágono que pula um vértice, mede R√3. EO é um raio, mede R. Então a área é (R√3 × R)/2 = (R²√3)/2. Correto.

A área do trapézio FGHI: bases FG = R e HI = R, altura = distância entre FG e HI. FG e HI são lados opostos do hexágono, então a distância é 2 × apótema = R√3. Área = ((R + R) × R√3)/2 = R²√3. Razão entre áreas = (R²√3/2) / (R²√3) = 1/2. Mas o gabarito é 2/3. Algo está errado na minha interpretação da figura.

Talvez o trapézio FGHI não tenha bases FG e HI, mas sim FI e GH. FI é a diagonal que passa pelo centro, mede 2R. GH é um lado, mede R. A altura seria a distância entre FI e GH, que é o apótema? Não, FI é uma diagonal que passa pelo centro, GH é um lado. A distância entre eles é o apótema? Vamos pensar: FI é horizontal, GH é um lado inclinado. A distância entre FI e GH é a distância entre a reta que contém FI e a reta que contém GH. FI passa pelo centro, GH é um lado. A distância do centro ao lado GH é o apótema a₆ = (R√3)/2. Então a altura do trapézio seria a₆. Área = ((2R + R) × (R√3)/2)/2 = (3R × R√3/2)/2 = (3R²√3)/4. A área do paralelogramo é (R²√3)/2 = (2R²√3)/4. Razão = (2R²√3/4) / (3R²√3/4) = 2/3. Agora sim!

Portanto, o trapézio FGHI tem bases FI = 2R e GH = R, e altura a₆ = (R√3)/2. Perímetro = FI + GH + FG + HI = 2R + R + R + R = 5R. Área = ((2R + R) × (R√3)/2)/2 = (3R²√3)/4. O paralelogramo DEOI tem perímetro 4R e área (R²√3)/2 = (2R²√3)/4. Razão de perímetros = 4R/5R = 4/5. Razão de áreas = (2R²√3/4) / (3R²√3/4) = 2/3. Isso bate com a alternativa C.

A pegadinha está em identificar corretamente as bases do trapézio: muitos candidatos usam FG e HI como bases, mas na verdade as bases são FI (diagonal que passa pelo centro) e GH (lado oposto). A altura é o apótema.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A razão de perímetros 4/6 está errada porque o perímetro do trapézio não é 6R. O candidato pode ter somado os três lados (FG, GH, HI) e a diagonal FI como se fosse 3R, mas FI = 2R, totalizando 5R. A razão de áreas 2/6 = 1/3 também está errada; o correto é 2/3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A razão de perímetros 4/4 = 1 está errada, pois os perímetros são diferentes (4R e 5R). A razão de áreas 2/3 está correta, mas como a primeira está errada, a alternativa é falsa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Perímetro do paralelogramo DEOI: 4R (quatro lados iguais a R). Perímetro do trapézio FGHI: FI = 2R (diagonal que passa pelo centro) + GH = R + FG = R + HI = R, totalizando 5R. Razão = 4/5. Área do paralelogramo: (R²√3)/2. Área do trapézio: bases 2R e R, altura a₆ = (R√3)/2, área = (3R²√3)/4. Razão = (R²√3/2) / (3R²√3/4) = 2/3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A razão de perímetros 4/6 está errada (o correto é 4/5). A razão de áreas 2/4 = 1/2 está errada; o correto é 2/3.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A razão de perímetros 5/4 está invertida (o correto é 4/5). A razão de áreas 3/2 está invertida (o correto é 2/3).

Gabarito: letra C