Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

Conjuntos numéricos: fechamento dos irracionais

Gabarito: letra E. O conjunto dos números irracionais não é fechado para a multiplicação, pois o produto de dois irracionais pode ser racional (ex.: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$). A alternativa E é a única que expressa corretamente essa possibilidade, sem cair na generalização incorreta de que "sempre" ou "nunca" ocorre.

O conceito de fechamento de um conjunto em relação a uma operação significa que, ao aplicar a operação entre dois elementos do conjunto, o resultado sempre pertence ao mesmo conjunto. Para os irracionais, isso não ocorre em nenhuma das quatro operações básicas: a soma, a diferença, o produto e o quociente de dois irracionais podem resultar em um número racional ou irracional, dependendo dos números escolhidos.

A pegadinha clássica da banca é explorar a generalização indevida: o candidato, ao ver que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional, pode concluir que a soma de irracionais é sempre irracional. No entanto, basta um contraexemplo como $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ (racional) para derrubar essa ideia. O mesmo vale para a multiplicação: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (racional), mas $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (irracional).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto é fechado para a multiplicação, o que é falso. O produto de dois irracionais pode ser racional (ex.: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$), portanto o conjunto não é fechado para a multiplicação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que a soma de dois irracionais é sempre racional. Isso é falso: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional. A soma pode ser racional (ex.: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$), mas não é uma regra geral.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que a soma de dois irracionais não é um número irracional. Isso é falso: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional. A soma pode ser irracional, mas não é uma regra geral.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que o produto de dois irracionais não é um número irracional. Isso é falso: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ é irracional. O produto pode ser irracional, mas não é uma regra geral.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma corretamente que o produto de dois irracionais pode ser racional. Exemplo: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$, que é racional. Isso demonstra que o conjunto dos irracionais não é fechado para a multiplicação.

Gabarito: letra E