Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2025

Poliedros: relação de Euler e contagem de faces, arestas e vértices

Gabarito: letra B. A questão pede a intervenção pedagógica que explora as características de prismas e pirâmides para relacionar as quantidades de faces, vértices e arestas com o número de lados do polígono da base — exatamente o que permite generalizar a relação de Euler e validar as sentenças I a IV. As demais alternativas fogem do objetivo da atividade, que é a análise estrutural dos poliedros, não medição de ângulos, classificação de polígonos regulares, estudo de ângulos em quadriláteros ou resolução de equações do 1º grau.

A atividade proposta pelo professor parte de um prisma com 24 arestas e de uma pirâmide cujo número de faces é a metade do número de faces do prisma. Para resolver, precisamos entender como contar arestas e faces em prismas e pirâmides a partir do polígono da base.

Prisma: um prisma de base com $n$ lados possui:

• $2n$ arestas (as $n$ arestas da base, as $n$ arestas da face superior e as $n$ arestas laterais);

• $n+2$ faces (as duas bases e as $n$ faces laterais);

• $2n$ vértices.

Pirâmide: uma pirâmide de base com $n$ lados possui:

• $2n$ arestas ($n$ arestas da base e $n$ arestas laterais);

• $n+1$ faces (a base e as $n$ faces laterais);

• $n+1$ vértices (os $n$ vértices da base mais o vértice do topo).

Aplicando ao problema: o prisma tem 24 arestas, logo $2n = 24 \Rightarrow n = 12$. Portanto, o prisma tem base dodecagonal, com $F_{prisma} = 12 + 2 = 14$ faces. A pirâmide tem metade das faces do prisma, ou seja, $F_{pirâmide} = 14/2 = 7$ faces. Como $F_{pirâmide} = n + 1$, temos $n + 1 = 7 \Rightarrow n = 6$. A pirâmide tem base hexagonal, com $A_{pirâmide} = 2 \times 6 = 12$ arestas e $V_{pirâmide} = 6 + 1 = 7$ vértices.

Agora, analisando as sentenças:

• I. Essa pirâmide é um tetraedro, que pode ser regular ou não. — FALSA. A pirâmide tem base hexagonal (6 lados), logo tem 7 faces, não 4. Tetraedro é a pirâmide de base triangular (4 faces).

• II. Essa pirâmide tem a quantidade de arestas igual à metade da quantidade de arestas desse prisma. — VERDADEIRA. A pirâmide tem 12 arestas, e o prisma tem 24; 12 é exatamente a metade de 24.

• III. Essa pirâmide tem 12 faces e 13 vértices. — FALSA. A pirâmide tem 7 faces e 7 vértices (base hexagonal: 6 vértices na base + 1 no topo).

• IV. Essa pirâmide tem 5 faces, sendo uma base e quatro faces laterais. — FALSA. A pirâmide tem 7 faces: uma base hexagonal e 6 faces laterais triangulares.

Portanto, apenas a sentença II é verdadeira. A intervenção que melhor promove a reflexão sobre essas características é a que explora as relações entre faces, vértices e arestas com o número de lados do polígono da base, como na alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Determinar as medidas dos ângulos do polígono da base com transferidor não contribui para a generalização das características dos poliedros nem para a relação de Euler. A atividade não envolve medição angular, mas sim contagem de elementos (faces, arestas, vértices) e sua relação com a base.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Explorar as características de prismas e pirâmides para relacionar as quantidades de faces, vértices e arestas com o número de lados do polígono da base é exatamente o que permite aos estudantes compreenderem a estrutura dos poliedros e validarem as sentenças. Essa abordagem conecta a geometria plana (polígono da base) com a espacial (poliedro), promovendo a generalização desejada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Explorar a classificação de polígonos regulares em relação aos lados é um conteúdo de geometria plana, mas não aborda a relação entre faces, arestas e vértices dos poliedros. A atividade proposta foca na estrutura dos sólidos, não na regularidade dos polígonos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Estudar ângulos como grandeza associada aos quadriláteros é um tema de geometria plana, sem relação com a contagem de elementos de prismas e pirâmides. A atividade não envolve ângulos internos de quadriláteros.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Resolver equações do 1º grau atribuindo valores a duas das três incógnitas V, A e F é uma abordagem algébrica que, embora possa ser usada para verificar a relação de Euler, não explora as características geométricas dos poliedros nem a relação com o polígono da base. O foco da atividade é a generalização geométrica, não a manipulação algébrica isolada.

Gabarito: letra B