Questão de Matemática — Trigonometria — FGV 2025

Função Seno: Parâmetros a e b

Gabarito: letra B. Na função $f(x) = a\cdot\text{sen}(bx + c) + d$, o parâmetro $a$ controla a amplitude (o "esticamento" vertical do gráfico) e o parâmetro $b$ controla o período (a "compressão" ou "esticamento" horizontal). As translações são efeitos dos parâmetros $c$ (horizontal) e $d$ (vertical), que não foram movimentados na tarefa.

A função seno é uma das funções trigonométricas mais importantes, e sua forma geral $f(x) = a\cdot\text{sen}(bx + c) + d$ é uma ferramenta poderosa para modelar fenômenos periódicos, como ondas sonoras, marés e movimentos pendulares. Cada parâmetro dessa expressão tem um papel geométrico específico no gráfico, e entender esses papéis é essencial para interpretar e construir gráficos de funções senoidais.

Vamos decompor a função. O parâmetro $a$ multiplica o valor do seno, que varia entre $-1$ e $1$. Portanto, o gráfico da função será "esticado" ou "comprimido" verticalmente por um fator $|a|$. O valor absoluto de $a$ define a amplitude da onda, que é a distância entre o eixo central (a linha média) e o ponto máximo ou mínimo. Se $a$ for negativo, além de alterar a amplitude, o gráfico é refletido em relação ao eixo horizontal.

O parâmetro $b$ afeta a frequência da onda. O período da função seno pura é $2\pi$. Quando multiplicamos o argumento por $b$, o período passa a ser $\frac{2\pi}{|b|}$. Isso significa que, se $|b| > 1$, a onda se comprime horizontalmente (oscila mais vezes no mesmo intervalo), e se $0 < |b| < 1$, a onda se estica horizontalmente (oscila menos vezes). O parâmetro $b$ não causa translação, apenas altera a "velocidade" com que a função completa um ciclo.

Os parâmetros $c$ e $d$ são responsáveis pelas translações. O parâmetro $c$ desloca o gráfico horizontalmente (para a esquerda se $c > 0$, para a direita se $c < 0$), e o parâmetro $d$ desloca o gráfico verticalmente (para cima se $d > 0$, para baixo se $d < 0$). Esses deslocamentos não alteram a forma da onda, apenas sua posição no plano cartesiano.

A pegadinha desta questão está em associar corretamente cada parâmetro ao seu efeito. A banca mistura os efeitos de $a$, $b$, $c$ e $d$ nas alternativas, e o candidato que não domina a função senoidal pode confundir, por exemplo, o efeito de $b$ (período) com o de $c$ (translação horizontal).

Guarde a correspondência: $a$ → amplitude, $b$ → período, $c$ → translação horizontal, $d$ → translação vertical. É exatamente essa correspondência que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram a amplitude e a translação horizontal. O erro está em atribuir a translação horizontal ao parâmetro $b$. A translação horizontal é causada pelo parâmetro $c$, que não foi movimentado. O parâmetro $b$ altera o período, não a posição horizontal do gráfico.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa está correta porque associa corretamente os efeitos dos parâmetros $a$ e $b$. O parâmetro $a$ controla a amplitude da função, e o parâmetro $b$ controla o período. Ao movimentar apenas esses dois controles, o professor espera que os estudantes observem exatamente essas duas alterações no gráfico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram as translações vertical e horizontal. O erro é duplo: as translações são causadas pelos parâmetros $d$ (vertical) e $c$ (horizontal), e não por $a$ e $b$. Além disso, a alternativa omite os efeitos principais de $a$ (amplitude) e $b$ (período).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram o período e a translação horizontal. O erro está em atribuir a translação horizontal ao parâmetro $b$. A translação horizontal é causada pelo parâmetro $c$. O parâmetro $b$ altera o período, e o parâmetro $a$ altera a amplitude, que não é mencionada nesta alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram o período e a translação vertical. O erro está em atribuir a translação vertical ao parâmetro $b$. A translação vertical é causada pelo parâmetro $d$. O parâmetro $b$ altera o período, e o parâmetro $a$ altera a amplitude, que não é mencionada nesta alternativa.

Gabarito: letra B