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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg121867
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Auditor Substituto de Conselheiro
Considere os pontos A(3, 1) e B(4, 8). O ponto P(0, b) é equidistante de A e B.O valor de b é
  1. A8
  2. B7
  3. C6
  4. D5
  5. E4
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a b = 5, alternativa D.

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une. Ela é calculada pela fórmula d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que vem do Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Um ponto é equidistante de dois outros quando as distâncias até eles são iguais. Nesta questão, precisamos igualar as distâncias de P a A e de P a B, montar uma equação e resolvê-la para achar b.

O que a questão dá

  • A(3, 1)

  • B(4, 8)

  • P(0, b) equidistante de A e B

O que queremos: o valor de b

Passo 1 — Calcular a distância de P a A

Para comparar as distâncias, precisamos primeiro expressar cada uma em função de b. A distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula da distância entre dois pontos, que é a aplicação direta do Teorema de Pitágoras no plano cartesiano.

PA = √((x_A - x_P)^2 + (y_A - y_P)^2)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: A(3, 1) · yAy_A = enunciado: A(3, 1) · xPx_P = enunciado: P(0, b) · yPy_P = enunciado: P(0, b)

PA = √((3 - 0)^2 + (1 - b)^2)
PA = √(9 + (1 - b)^2)
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem das coordenadas, mas como está ao quadrado, não faz diferença. O erro comum é esquecer de elevar ao quadrado as diferenças.

Passo 2 — Calcular a distância de P a B

Precisamos da outra distância para poder igualá-las. A fórmula é a mesma, agora aplicada ao ponto B.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula da distância, pois queremos comparar as duas distâncias.

PB = √((x_B - x_P)^2 + (y_B - y_P)^2)

De onde vem cada valor: xBx_B = enunciado: B(4, 8) · yBy_B = enunciado: B(4, 8) · xPx_P = enunciado: P(0, b) · yPy_P = enunciado: P(0, b)

PB = √((4 - 0)^2 + (8 - b)^2)
PB = √(16 + (8 - b)^2)
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair as coordenadas, mas como está ao quadrado, não afeta. O erro comum é esquecer de elevar ao quadrado.

Passo 3 — Igualar as distâncias e elevar ao quadrado

Como P é equidistante, as distâncias são iguais. Elevar ao quadrado elimina as raízes e simplifica a equação, pois ambos os lados são não negativos.

Por que esta fórmula: Igualdade de distâncias: PA = PB. Elevar ao quadrado é válido porque as distâncias são não negativas.

PA2=PB2PA^{2} = PB^{2}

De onde vem cada valor: PA2PA^{2} = passo 1: 9 + (1 - b)^2 · PB2PB^{2} = passo 2: 16 + (8 - b)^2

9+(1−b)2=16+(8−b)29 + (1 - b)^{2} = 16 + (8 - b)^{2}
9+(1−b)2=16 +(8−b)29 + (1 - b)^{2} = \boxed{16\ + (8 - \text{b})^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado ambos os lados, ou elevar apenas um lado.

Passo 4 — Expandir os quadrados

Para resolver a equação, precisamos eliminar os parênteses. Usamos o produto notável (a - b)² = a² - 2ab + b².

Por que esta fórmula: Expansão de binômios ao quadrado.

(1−b)2=1−2b+b2,(8−b)2=64−16b+b2(1 - b)^{2} = 1 - 2b + b^{2}, \quad (8 - b)^{2} = 64 - 16b + b^{2}

De onde vem cada valor: (1−b)2(1 - b)^{2} = passo 3 · (8−b)2(8 - b)^{2} = passo 3

9+1−2b+b2=16+64−16b+b29 + 1 - 2b + b^{2} = 16 + 64 - 16b + b^{2}
10−2b+b2=80 −16b+b210 - 2b + b^{2} = \boxed{80\ - 16\text{b} + \text{b}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do termo do meio: (1 - b)² = 1 - 2b + b², não 1 + 2b + b².

Passo 5 — Simplificar cancelando b²

O termo b² aparece dos dois lados, então podemos subtraí-lo de ambos, simplificando a equação para uma de primeiro grau.

Por que esta fórmula: Propriedade da igualdade: subtrair o mesmo termo dos dois lados.

10−2b=80−16b10 - 2b = 80 - 16b

De onde vem cada valor: 10−2b10 - 2b = passo 4: lado esquerdo sem b² · 80−16b80 - 16b = passo 4: lado direito sem b²

10−2b=80−16b10 - 2b = 80 - 16b
10−2b=80 −16b10 - 2b = \boxed{80\ - 16\text{b}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar b² e tentar resolver como equação do segundo grau.

Passo 6 — Isolar b na equação

Agora temos uma equação linear simples. Precisamos juntar os termos com b de um lado e as constantes do outro.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: somar 16b e subtrair 10 dos dois lados.

10−2b+16b=80−16b+16b⇒10+14b=8010 - 2b + 16b = 80 - 16b + 16b \Rightarrow 10 + 14b = 80

De onde vem cada valor: 1010 = passo 5 · −2b-2b = passo 5 · 16b16b = passo 5: termo do lado direito · 8080 = passo 5

10+14b=8010 + 14b = 80
14b=7014b = \boxed{70}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover termos: ao somar 16b, o -2b vira +14b, não +18b.

Passo 7 — Dividir para achar b

Para obter b, dividimos ambos os lados pelo coeficiente de b.

Por que esta fórmula: Isolamento da incógnita: b = 70 / 14.

b=7014b = \frac{70}{14}

De onde vem cada valor: 7070 = passo 6 · 1414 = passo 6

b=7014b = \frac{70}{14}
b=5b = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado: 70/14 = 5, não 6 ou 7.

Resposta: b = 5, alternativa D

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