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Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2025

MatemáticaTriângulos
Código
fg121868
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Auditor Substituto de Conselheiro
Considere um triângulo ABC e um ponto D pertencente ao lado AB tal que CD é a bissetriz do ângulo ACB.Sabe-se que o ângulo ABC mede 20o e que o ângulo BDC é o triplo do ângulo BCD.O ângulo BAC mede
  1. A20o .
  2. B40o .
  3. C60o .
  4. D80o
  5. E100o
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GabaritoD — 80o

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 80° (alternativa D).

A ideia por trás

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°. Essa é a ferramenta básica para relacionar ângulos desconhecidos quando conhecemos alguns deles. Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais, então se chamarmos uma parte de x, a outra também será x e o ângulo total será 2x. Nesta questão, usamos a soma dos ângulos internos primeiro no triângulo BCD, onde conhecemos a relação entre dois ângulos, para descobrir o valor de x. Depois, com o ângulo ACB conhecido, aplicamos a soma novamente no triângulo ABC para achar o ângulo pedido.

O que a questão dá

  • ângulo ABC = 20°

  • CD é bissetriz do ângulo ACB

  • ângulo BDC = 3 × ângulo BCD

O que queremos: a medida do ângulo BAC

Passo 1 — Chamar o ângulo BCD de x

Precisamos de um nome para o ângulo desconhecido para montar equações. Como CD é bissetriz, o ângulo ACD também vale x, e o ângulo ACB vale 2x. Isso conecta os dois triângulos.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais, achando que ACB = x em vez de 2x.

Passo 2 — Montar a equação no triângulo BCD

No triângulo BCD conhecemos dois ângulos em função de x (BCD = x e BDC = 3x) e o terceiro (CBD) é o mesmo que ABC, que vale 20°. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, então podemos montar uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, então somamos os três ângulos do triângulo BCD e igualamos a 180°.

x+3x+20°=180°x + 3x + 20° = 180°

De onde vem cada valor: xx = passo 1: ângulo BCD · 3x3x = enunciado: ângulo BDC é o triplo do BCD · 20°20° = enunciado: ângulo ABC = 20° (CBD é o mesmo ângulo)

x+3x+20=180x + 3x + 20 = 180
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o ângulo de 20°, fazendo x + 3x = 180 e obtendo x = 45°.

Passo 3 — Resolver a equação para achar x

Agora temos uma equação do primeiro grau. Precisamos isolar x para descobrir o valor do ângulo BCD, que será usado para achar o ângulo ACB.

Por que esta fórmula: É uma equação linear simples: somamos os termos com x e subtraímos 20° dos dois lados.

4x=160°4x = 160°

De onde vem cada valor: 4x4x = passo 2: x + 3x = 4x · 160°160° = passo 2: 180° - 20° = 160°

4x=1604x = 160
x=40 ∘x = \boxed{40\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 180 - 20 = 160, não 150.

Passo 4 — Calcular o ângulo ACB

Como CD é bissetriz, o ângulo ACB é o dobro do ângulo BCD. Precisamos desse valor para usar no triângulo ABC.

Por que esta fórmula: A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais, então o ângulo total é a soma das duas partes: x + x = 2x.

ACB=2⋅xACB = 2 \cdot x

De onde vem cada valor: xx = passo 3: x = 40°

ACB=2⋅40ACB = 2 \cdot 40
ACB=80 ∘ACB = \boxed{80\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x em vez de 2x, achando ACB = 40°.

Passo 5 — Aplicar a soma dos ângulos no triângulo ABC

No triângulo ABC já conhecemos dois ângulos: ABC = 20° e ACB = 80°. O ângulo BAC é o que falta para completar 180°.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então subtraímos os ângulos conhecidos de 180° para achar o desconhecido.

BAC=180°−ABC−ACBBAC = 180° - ABC - ACB

De onde vem cada valor: 180°180° = propriedade dos triângulos · ABCABC = enunciado: 20° · ACBACB = passo 4: 80°

BAC=180−20−80BAC = 180 - 20 - 80
BAC=80 ∘BAC = \boxed{80\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o ângulo ABC, fazendo 180 - 80 = 100°.

Resposta: 80° (alternativa D)

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