Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg121870
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Auditor Substituto de Conselheiro
Considere as 5 letras da sigla TCERR.O número de maneiras distintas de escrever essas 5 letras em sequência de modo que as duas letras R não fiquem juntas é
  1. A60.
  2. B48.
  3. C36.
  4. D24.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 36.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 36 (alternativa C).

A ideia por trás

A permutação com repetição conta de quantas formas podemos ordenar elementos quando alguns são idênticos. No caso da sigla TCERR, temos 5 posições, mas como os dois R são iguais, trocá-los de lugar não cria uma sequência nova — por isso dividimos por 2!. Para resolver a restrição 'não ficarem juntos', usamos o princípio da diferença: calculamos o total de anagramas e subtraímos aqueles em que os R estão juntos, tratando o par RR como um bloco único. Assim, a resposta é a diferença entre o total e os casos proibidos.

O que a questão dá

  • 5 letras: T, C, E, R, R

  • duas letras R repetidas

O que queremos: o número de maneiras de escrever as 5 letras em sequência sem que as duas letras R fiquem juntas

Passo 1 — Calcular o total de anagramas

Precisamos saber quantas sequências existem no total, sem nenhuma restrição, para depois subtrair as que têm os R juntos. Como há letras repetidas, usamos a fórmula de permutação com repetição.

Por que esta fórmula: A fórmula P_n^{(r)} = n! / r! conta as permutações de n elementos quando há r repetições de um mesmo elemento. Aqui, n = 5 e r = 2 (os dois R), pois as outras letras são distintas.

P5(2)=5!2!P_5^{(2)} = \frac{5!}{2!}

De onde vem cada valor: 5!5! = enunciado: 5 letras · 2!2! = enunciado: duas letras R repetidas

P5(2)=5×4×3×2×12×1=60P_5^{(2)} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2! e calcular 5! = 120, contando cada troca dos R como diferente.

Passo 2 — Contar os casos com os R juntos

Para aplicar o princípio da diferença, precisamos saber quantas sequências têm os dois R juntos. Tratamos o par RR como um único bloco, reduzindo o problema a permutar 4 elementos distintos.

Por que esta fórmula: Quando dois elementos devem ficar juntos, podemos amarrá-los como um bloco. Assim, em vez de 5 letras, temos 4 itens para ordenar: o bloco RR, T, C e E. Como todos são distintos, usamos a permutação simples de 4 elementos.

P4=4!P_4 = 4!

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: 5 letras menos 1 (o par RR vira um bloco)

P4=4×3×2×1=24P_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o bloco RR conta como um único elemento e calcular 5! novamente.

Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total

O total de anagramas inclui tanto os casos com R juntos quanto os separados. Como queremos apenas os separados, subtraímos os casos com R juntos do total.

Por que esta fórmula: O princípio da diferença: casos permitidos = total − casos proibidos. Aqui, total = 60 (passo 1) e casos proibidos = 24 (passo 2).

60−2460 - 24

De onde vem cada valor: 6060 = passo 1 · 2424 = passo 2

60−24=3660 - 24 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada ou esquecer de subtrair, marcando 60.

Resposta: 36 (alternativa C)

Link permanente: /questoes/fg121870