Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2025

Independência de eventos e probabilidade condicional

Gabarito: letra B. Os eventos são independentes, pois a probabilidade de usar transporte público é a mesma (0,6) tanto para quem é do turno da manhã quanto para quem é do turno da tarde, e a probabilidade de um funcionário pertencer ao turno da manhã dado que usa transporte público é 0,30, igual à probabilidade incondicional de pertencer ao turno da manhã. Isso decorre da definição de independência: $P(A|B) = P(A)$.

A questão trabalha com dois conceitos centrais da teoria das probabilidades: independência de eventos e probabilidade condicional (Teorema de Bayes). Vamos analisá-los com calma.

1. Independência de eventos

Dois eventos $A$ e $B$ são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Matematicamente, isso se expressa de duas formas equivalentes:

• $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

• $P(A|B) = P(A)$ (e também $P(B|A) = P(B)$)

No problema, temos:

• $P(\text{manhã}) = 0{,}30$

• $P(\text{transporte público} | \text{manhã}) = 0{,}60$

• $P(\text{transporte público} | \text{tarde}) = 0{,}60$

• $P(\text{transporte público}) = 0{,}60$

Como a probabilidade de usar transporte público é a mesma (0,60) tanto para quem é do turno da manhã quanto para quem é do turno da tarde, e essa probabilidade coincide com a probabilidade geral (0,60), o evento "usar transporte público" não depende do turno. Formalmente, $P(\text{transporte} | \text{manhã}) = P(\text{transporte}) = 0{,}60$, o que caracteriza independência.

2. Probabilidade condicional (Teorema de Bayes)

A segunda pergunta pede $P(\text{manhã} | \text{transporte público})$. Pelo Teorema de Bayes:

Substituindo os valores:

Ou seja, a probabilidade de um funcionário ser do turno da manhã, dado que usa transporte público, é 0,30 — exatamente igual à probabilidade incondicional de ser do turno da manhã. Isso confirma a independência: saber que a pessoa usa transporte público não acrescenta informação sobre o turno.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os eventos são independentes (correto), mas que a probabilidade condicional é 0,15. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo correto. O candidato pode ter multiplicado $0{,}30 \times 0{,}60 = 0{,}18$ e depois dividido por algo, ou simplesmente chutado. O cálculo correto, como vimos, resulta em 0,30.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Os eventos são independentes, pois $P(\text{transporte} | \text{manhã}) = P(\text{transporte}) = 0{,}60$. E a probabilidade condicional pedida é $P(\text{manhã} | \text{transporte}) = 0{,}30$, calculada pelo Teorema de Bayes. Como a independência implica $P(A|B) = P(A)$, o resultado é exatamente a probabilidade incondicional de ser do turno da manhã.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os eventos são independentes (correto), mas que a probabilidade condicional é 0,60. Esse valor é a probabilidade de usar transporte público, não a probabilidade de ser do turno da manhã. O candidato confunde a probabilidade condicional pedida com a probabilidade de transporte público.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os eventos não são independentes. Isso está errado, pois a probabilidade de usar transporte público é a mesma (0,60) para ambos os turnos, o que caracteriza independência. O valor 0,30 para a condicional está correto, mas como a primeira parte está errada, a alternativa é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os eventos não são independentes (errado) e que a probabilidade condicional é 0,60 (também errado). O valor 0,60 é a probabilidade de usar transporte público, não a probabilidade de ser do turno da manhã dado que usa transporte público.

Gabarito: letra B