Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2025

Raciocínio Lógico — Transferência de bolas entre urnas

Gabarito: letra D. Após passar as 10 bolas da urna A para a B, a urna B fica com 20 bolas (12 brancas e 8 azuis). Ao transferir 10 bolas de volta para A, o número de bolas brancas em A é exatamente o número de bolas brancas que saíram de B. Como B tinha 12 brancas e só 10 bolas saem, pelo menos 2 bolas brancas vão para A — é exatamente o que afirma a alternativa D.

Vamos entender o problema passo a passo. Inicialmente:

• Urna A: 7 brancas, 3 azuis (total 10)

• Urna B: 5 brancas, 5 azuis (total 10)

Primeira etapa: todas as bolas de A são passadas para B. Então B fica com:

• Brancas: 5 + 7 = 12

• Azuis: 5 + 3 = 8

• Total: 20 bolas

A urna A fica vazia.

Segunda etapa: sem ver a cor, 10 bolas são retiradas de B e levadas para A. Como B tem 20 bolas, retirar 10 é exatamente a metade. Mas a retirada é aleatória, então não sabemos quantas brancas e quantas azuis saem. O que podemos garantir?

• O número de bolas brancas que saem de B varia de 0 a 10, mas como B tem 12 brancas, o máximo que pode sair é 10 (todas as 10 retiradas serem brancas).

• O número de bolas azuis que saem varia de 0 a 8 (pois só há 8 azuis em B).

A chave é: para que a urna A fique sem nenhuma bola branca, seria necessário retirar 10 bolas brancas de B — mas B só tem 12 brancas, e isso é possível? Sim, é possível retirar 10 brancas (deixando 2 brancas em B). Então A poderia ficar com 0 brancas? Não! Se retirarmos 10 bolas e todas forem brancas, A fica com 10 brancas. Se retirarmos 9 brancas e 1 azul, A fica com 9 brancas. O mínimo de brancas em A ocorre quando retiramos o máximo de azuis possível, que é 8. Então, se retirarmos 8 azuis e 2 brancas, A fica com 2 brancas e 8 azuis. Portanto, o número mínimo de brancas em A é 2.

Podemos formalizar: se $b$ é o número de bolas brancas retiradas de B, então $10 - b$ é o número de azuis. Como o número de azuis retiradas não pode exceder 8, temos $10 - b \leq 8 \Rightarrow b \geq 2$. Logo, em qualquer cenário, pelo menos 2 bolas brancas vão para A.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há mais bolas brancas do que azuis na urna A. Isso não é garantido: se retirarmos 8 azuis e 2 brancas, A fica com 2 brancas e 8 azuis — mais azuis que brancas. A alternativa erra ao afirmar uma certeza que não existe.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que há mais bolas brancas do que azuis na urna B. Após a transferência, B fica com 10 bolas (as que não foram retiradas). Se retirarmos 8 azuis e 2 brancas, B fica com 10 brancas e 0 azuis — mais brancas. Mas se retirarmos 10 brancas, B fica com 2 brancas e 8 azuis — mais azuis. Portanto, não é garantido que B tenha mais brancas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há, no máximo, cinco bolas azuis na urna A. Isso é falso: como vimos, é possível retirar até 8 azuis de B (todas as azuis), então A pode ter até 8 azuis. O máximo de azuis em A é 8, não 5.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que há, no mínimo, duas bolas brancas na urna A. Como demonstrado, o número de brancas retiradas de B é $b \geq 2$, pois só há 8 azuis em B e precisamos completar 10 bolas. Logo, A sempre terá pelo menos 2 brancas. Correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que não há bolas azuis na urna A. Isso só ocorreria se todas as 10 bolas retiradas fossem brancas, o que é possível, mas não garantido. Na verdade, A pode ter até 8 azuis. A alternativa erra ao afirmar uma possibilidade como certeza.

Gabarito: letra D