Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg122216

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 20 cm² (alternativa C).

A ideia por trás

Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é o segmento que liga o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa. Uma propriedade fundamental é que essa mediana mede exatamente a metade da hipotenusa, pois o triângulo retângulo está inscrito em uma semicircunferência cujo diâmetro é a hipotenusa; o ponto médio é o centro e a mediana é um raio. A área de qualquer triângulo é calculada como base vezes altura dividido por dois; no triângulo retângulo, podemos usar a hipotenusa como base e a altura relativa a ela (que é a distância do vértice do ângulo reto até a hipotenusa) como altura. Nesta questão, a mediana nos dá a hipotenusa (dobro da mediana) e a altura já é fornecida, então basta aplicar a fórmula da área.

O que a questão dá

altura relativa à hipotenusa = 4 cm
mediana relativa à hipotenusa = 5 cm

O que queremos: a área do triângulo retângulo

Passo 1 — Descobrir a hipotenusa pela mediana

Precisamos da hipotenusa para calcular a área, e a mediana relativa à hipotenusa tem uma relação direta com ela: em todo triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto até o ponto médio da hipotenusa mede metade da hipotenusa. Isso acontece porque o triângulo retângulo cabe em uma semicircunferência com a hipotenusa como diâmetro, e a mediana é um raio dessa circunferência.

Por que esta fórmula: A relação entre a mediana e a hipotenusa é específica do triângulo retângulo: a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa. Não é a altura, nem outro segmento — é essa propriedade que permite achar a hipotenusa.

m = \frac{h_{hip}}{2}

De onde vem cada valor: $m$ = enunciado: mediana = 5 cm · $h_{hip}$ = é a hipotenusa, que queremos descobrir

5 = \frac{h_{hip}}{2}

h_{hip} = \boxed{10\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a mediana é a própria hipotenusa, o que daria 5 cm e levaria à alternativa A.

Passo 2 — Calcular a área do triângulo

Com a hipotenusa (10 cm) e a altura relativa a ela (4 cm), podemos calcular a área. A área de um triângulo é sempre base vezes altura dividido por dois; aqui, a base é a hipotenusa e a altura é a distância do vértice do ângulo reto até essa base, que o enunciado já deu.

Por que esta fórmula: A fórmula da área de triângulo é universal: A = (base × altura) / 2. Como temos a base (hipotenusa) e a altura relativa a ela, é a fórmula direta.

A = \frac{b \times h}{2}

De onde vem cada valor: $b$ = passo 1: 10 cm (hipotenusa) · $h$ = enunciado: 4 cm (altura relativa à hipotenusa)

A = \frac{10 \times 4}{2} = \boxed{20\ \text{cm}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 40 cm² (alternativa E).

Resposta: 20 cm² (alternativa C)