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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg122218
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico Administrativo
Uma grandeza Y é diretamente proporcional a uma grandeza X e inversamente proporcional ao quadrado de uma grandeza Z. As três grandezas só assumem valores positivos.Sabe-se que quando X = 3 e Z = 2, tem-se Y = 0,9.Assim, quando Y = 2 e X = 15, o valor de Z é
  1. A2.
  2. B3.
  3. C6.
  4. D9.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a Z = 3, alternativa B..

A ideia por trás

Proporcionalidade é uma relação entre grandezas: quando uma grandeza é diretamente proporcional a outra, elas variam na mesma razão (se uma dobra, a outra dobra); quando é inversamente proporcional ao quadrado de outra, ela varia na razão inversa do quadrado (se Z dobra, Y fica dividido por 4). A relação geral é Y = k · X / Z², onde k é uma constante que ajusta a proporção para os valores específicos do problema. Nesta questão, precisamos primeiro descobrir k usando os dados iniciais e depois usar esse k para encontrar Z na nova situação.

O que a questão dá

  • X = 3, Z = 2, Y = 0,9

  • Y = 2, X = 15

O que queremos: o valor de Z quando Y = 2 e X = 15

Passo 1 — Montar a fórmula de proporcionalidade

Para relacionar as grandezas, precisamos de uma equação que expresse a proporcionalidade direta com X e inversa com o quadrado de Z. A constante k ajusta a proporção para os valores do problema.

Por que esta fórmula: A relação é Y = k · X / Z² porque Y é diretamente proporcional a X (multiplica) e inversamente proporcional ao quadrado de Z (divide por Z²).

Y = k · fracXZ^2

De onde vem cada valor: YY = enunciado: grandeza Y · XX = enunciado: grandeza X · ZZ = enunciado: grandeza Z · kk = constante de proporcionalidade a determinar

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o quadrado em Z e usar Y = k · X / Z, o que leva a um k errado.

Passo 2 — Substituir os valores iniciais

Com os valores iniciais (X=3, Z=2, Y=0,9) podemos encontrar o valor de k, que é constante e vale para qualquer situação.

Por que esta fórmula: Substituímos os valores conhecidos na fórmula para isolar k.

0,9 = k · frac32^2

De onde vem cada valor: 0,90{,}9 = enunciado: Y = 0,9 · 33 = enunciado: X = 3 · 22 = enunciado: Z = 2

0,9=k⋅340{,}9 = k \cdot \frac{3}{4}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 2² como 2 em vez de 4.

Passo 3 — Isolar a constante k

Precisamos do valor numérico de k para usar na próxima etapa. Isolamos k multiplicando ambos os lados por 4/3.

Por que esta fórmula: Para desfazer a multiplicação por 3/4, multiplicamos pelo inverso 4/3.

k=0,9⋅43k = 0{,}9 \cdot \frac{4}{3}

De onde vem cada valor: 0,90{,}9 = passo 2 · 4/34/3 = inverso de 3/4

k=0,9⋅43=910⋅43=3630=1,2k = 0{,}9 \cdot \frac{4}{3} = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{30} = 1{,}2
k=1,2k = \boxed{1{,}2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação de frações ou esquecer de simplificar.

Passo 4 — Substituir os novos valores

Com k conhecido, usamos os novos valores de Y e X para montar uma equação que nos leva a Z.

Por que esta fórmula: A fórmula geral continua valendo; agora as incógnitas são diferentes.

2 = 1,2 · frac15Z^2

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: Y = 2 · 1,21{,}2 = passo 3 · 1515 = enunciado: X = 15

2 = 1,2 · frac15Z^2
NÃO CAIA NESSA!

Usar o valor de k errado ou trocar X e Y.

Passo 5 — Simplificar a equação

Para resolver para Z, primeiro simplificamos o lado direito: 1,2 · 15 = 18.

Por que esta fórmula: Multiplicamos os números para obter uma equação mais simples.

2 = frac18Z^2

De onde vem cada valor: 1818 = passo 4: 1,2 · 15 · 22 = passo 4

2 = frac18Z^2
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 1,2 · 15.

Passo 6 — Isolar Z ao quadrado

Para encontrar Z, precisamos primeiro saber quanto vale Z². Multiplicamos ambos os lados por Z² e dividimos por 2.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: multiplicar por Z² e depois dividir por 2.

Z2=182Z^{2} = \frac{18}{2}

De onde vem cada valor: 1818 = passo 5 · 22 = passo 5

Z2=182=9Z^{2} = \frac{18}{2} = 9
Z2=9Z^{2} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e obter Z² = 2/18.

Passo 7 — Extrair a raiz quadrada

A pergunta pede o valor de Z, não de Z². Como Z é positivo, a raiz positiva é a única solução.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada desfaz o quadrado.

Z=9Z = \sqrt{9}

De onde vem cada valor: 99 = passo 6

Z=9=3Z = \sqrt{9} = 3
Z=3Z = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar Z = 9 (o valor de Z²) em vez de extrair a raiz.

Resposta: Z = 3, alternativa B.

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