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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg122219
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico Administrativo
Os meninos Bruno e Luís, e as meninas Olívia e Ana formam uma fila na seguinte ordem: Bruno, Olívia, Luís, Ana.Uma nova fila deverá ser formada de forma que nenhum dos dois meninos ocupe o lugar em que estava antes.O número de novas filas possíveis é
  1. A10.
  2. B12.
  3. C14.
  4. D16.
  5. E18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 14 filas, alternativa C.

A ideia por trás

Este problema trata de permutações com restrições de posição. Uma permutação é uma forma de ordenar elementos; aqui, temos 4 pessoas e queremos contar as ordens em que duas delas (os meninos) não podem ocupar suas posições originais. O princípio da inclusão-exclusão é uma ferramenta para contar elementos que satisfazem pelo menos uma de várias condições, subtraindo as interseções. Nesta questão, usamos o total de permutações e subtraímos aquelas em que pelo menos um menino fica no lugar original.

O que a questão dá

  • 4 pessoas: Bruno, Olívia, Luís, Ana

  • posições originais: Bruno=1, Olívia=2, Luís=3, Ana=4

  • restrição: Bruno não pode ficar na posição 1, Luís não pode ficar na posição 3

O que queremos: o número de novas filas possíveis

Passo 1 — Calcular o total de filas possíveis

Para saber quantas filas existem sem nenhuma restrição, pois a partir desse total vamos excluir as que violam a condição.

Por que esta fórmula: O número de maneiras de ordenar n elementos distintos é o fatorial de n, pois para a primeira posição temos n opções, para a segunda n-1, e assim por diante.

4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: quatro pessoas

4!=4×3×2×1=24 filas4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o fatorial conta todas as ordens possíveis, não apenas as que satisfazem a condição.

Passo 2 — Contar filas com Bruno na posição 1

Precisamos saber quantas filas têm Bruno no lugar original, pois essas devem ser excluídas do total.

Por que esta fórmula: Fixando Bruno na posição 1, restam 3 pessoas para permutar nas outras posições, então o número de filas é 3!.

3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 33 = pessoas restantes após fixar Bruno

3!=3×2×1=6 filas3! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar também as filas em que Luís está na posição 3, mas isso será tratado na interseção.

Passo 3 — Contar filas com Luís na posição 3

Analogamente, precisamos excluir as filas em que Luís está no lugar original.

Por que esta fórmula: Fixando Luís na posição 3, restam 3 pessoas para permutar, então 3!.

3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 33 = pessoas restantes após fixar Luís

3!=3×2×1=6 filas3! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que essas filas podem também ter Bruno na posição 1, o que será corrigido no próximo passo.

Passo 4 — Contar filas com ambos os meninos nas posições originais

As filas em que Bruno está na posição 1 e Luís na posição 3 foram contadas duas vezes (uma em cada passo anterior), então precisamos subtraí-las uma vez para não excluir demais.

Por que esta fórmula: Fixando Bruno na posição 1 e Luís na posição 3, restam 2 meninas para permutar nas posições 2 e 4, então 2!.

2!=2×12! = 2 \times 1

De onde vem cada valor: 22 = meninas restantes

2!=2×1=2 filas2! = 2 \times 1 = \boxed{2\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a interseção, o que levaria a excluir 12 filas em vez de 10.

Passo 5 — Aplicar o princípio da inclusão-exclusão

Para encontrar o número de filas em que pelo menos um menino está no lugar original, somamos os casos individuais e subtraímos a interseção.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

6+6−26 + 6 - 2

De onde vem cada valor: 66 = passo 3 · 22 = passo 4

6+6−2=10 filas6 + 6 - 2 = \boxed{10\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar sem subtrair a interseção, obtendo 12.

Passo 6 — Subtrair do total para obter as filas válidas

As filas em que pelo menos um menino está no lugar original são as que devemos excluir; o restante são as novas filas permitidas.

Por que esta fórmula: O número de filas válidas é o total menos as filas inválidas.

24−1024 - 10

De onde vem cada valor: 2424 = passo 1 · 1010 = passo 5

24−10=14 filas24 - 10 = \boxed{14\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas 6 (um dos casos) em vez de 10.

Resposta: 14 filas, alternativa C

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