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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg122222
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico Administrativo
No plano cartesiano considere os pontos: A(3, 2), B(0, 1) e C(4, y), com y > 0. Os pontos B e C são equidistantes de A. O valor de y é
  1. A5.
  2. B6.
  3. C7.
  4. D8.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a y = 5, alternativa A.

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une. Ela é calculada pela fórmula d(P,Q) = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], que vem do Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas são os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Essa fórmula é a base da Geometria Analítica, pois transforma problemas geométricos em equações algébricas. Quando dois pontos são equidistantes de um terceiro, suas distâncias a esse ponto são iguais, o que gera uma equação que podemos resolver. Nesta questão, precisamos igualar as distâncias de A a B e de A a C, montar a equação e encontrar y, lembrando que y deve ser positivo.

O que a questão dá

  • A(3, 2)

  • B(0, 1)

  • C(4, y) com y > 0

  • B e C equidistantes de A

O que queremos: o valor de y

Passo 1 — Calcular a distância de A a B

Precisamos conhecer a distância entre A e B, pois ela será comparada com a distância entre A e C. A fórmula da distância usa as coordenadas dos dois pontos.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Essa é a fórmula padrão da Geometria Analítica.

d(A,B) = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: A(3, 2) · yAy_A = enunciado: A(3, 2) · xBx_B = enunciado: B(0, 1) · yBy_B = enunciado: B(0, 1)

d(A,B) = sqrt(0-3)^2 + (1-2)^2 = sqrt(-3)^2 + (-1)^2 = √(9+1) = √(10) = √10
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado as diferenças, ou errar o sinal ao subtrair as coordenadas.

Passo 2 — Calcular a distância de A a C

A distância de A a C depende de y, que é a incógnita. Precisamos expressá-la em função de y para depois igualar com a distância AB.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula da distância, agora aplicada aos pontos A e C.

d(A,C) = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: A(3, 2) · yAy_A = enunciado: A(3, 2) · xCx_C = enunciado: C(4, y) · yCy_C = enunciado: C(4, y)

d(A,C) = sqrt(4-3)^2 + (y-2)^2 = sqrt1^2 + (y-2)^2 = sqrt1 + (y-2)^2 = √(1 + (y-2)^2)
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das coordenadas, mas como está ao quadrado, a ordem não altera o resultado.

Passo 3 — Igualar as duas distâncias

A condição de equidistância diz que as distâncias são iguais. Igualando as expressões, obtemos uma equação que nos permite achar y.

Por que esta fórmula: Se d(A,B) = d(A,C), então as expressões são iguais.

√(10) = √(1 + (y-2)^2)

De onde vem cada valor: 10\sqrt{10} = passo 1 · √(1 + (y-2)^2) = passo 2

√(10) = √(1 + (y-2)^2)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar as distâncias e tentar resolver separadamente.

Passo 4 — Elevar ambos os lados ao quadrado

Para eliminar as raízes quadradas e trabalhar com uma equação mais simples. Como as distâncias são não negativas, elevar ao quadrado é válido.

Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado ambos os lados de uma igualdade mantém a igualdade, e aqui remove as raízes.

(√(10))^2 = (√(1 + (y-2)^2)^2)

De onde vem cada valor: 10\sqrt{10} = passo 1 · √(1 + (y-2)^2) = passo 2

10=1+(y−2)210 = 1 + (y-2)^{2}
10=1 +(y−2)210 = \boxed{1\ + (\text{y}-2)^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o lado direito corretamente, ou não simplificar a raiz.

Passo 5 — Isolar o termo com y

Precisamos deixar (y-2)² sozinho para poder extrair a raiz quadrada.

Por que esta fórmula: Subtraindo 1 de ambos os lados, isolamos o termo quadrático.

(y−2)2=10−1(y-2)^{2} = 10 - 1

De onde vem cada valor: 1010 = passo 4 · 11 = passo 4

(y−2)2=9(y-2)^{2} = 9
(y−2)2=9(y-2)^{2} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 10 - 1 = 9, mas alguns podem fazer 10 + 1 = 11.

Passo 6 — Extrair a raiz quadrada dos dois lados

Para encontrar os possíveis valores de y-2. Lembre-se de que a raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções: uma positiva e uma negativa.

Por que esta fórmula: Se a² = b, então a = ±√b.

y−2=±9y-2 = \pm \sqrt{9}

De onde vem cada valor: 99 = passo 5

y−2=±3y-2 = \pm 3
y−2=±3y-2 = \boxed{±3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal ±, considerando apenas a raiz positiva.

Passo 7 — Resolver as duas equações para y

Cada sinal dá um valor de y. Precisamos considerar ambos e depois aplicar a condição y > 0.

Por que esta fórmula: Somando 2 a ambos os lados de cada equação.

y=2±3y = 2 \pm 3

De onde vem cada valor: 22 = passo 6 · ±3\pm 3 = passo 6

y=2+3=5ouy=2−3=−1y = 2 + 3 = 5 \quad \text{ou} \quad y = 2 - 3 = -1

y = 5 ou y = -1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 2 corretamente, ou não considerar as duas soluções.

Passo 8 — Escolher a solução com y > 0

O enunciado impõe que y seja positivo, então descartamos a solução negativa.

Por que esta fórmula: A condição y > 0 elimina y = -1.

y=5y = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a condição y > 0 e marcar a alternativa errada, ou considerar as duas soluções como válidas.

Resposta: y = 5, alternativa A

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