Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg124248

Probabilidade com combinações: empadas de mesmo recheio

Gabarito: letra C — a probabilidade de Sofia pegar 3 empadas do mesmo recheio é de aproximadamente 18% (mais precisamente, $\frac{20}{165} \approx 0,1212 = 12,12\%$ ). A resolução usa a definição clássica de probabilidade: $P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$ , contando os casos com combinações, pois a ordem de retirada não importa.

A ideia por trás

Temos 11 empadas: 5 de frango e 6 de palmito (já que "as demais" são de palmito). Sofia retira 3 empadas ao acaso. Queremos a probabilidade de que as 3 sejam do mesmo recheio — ou seja, ou as 3 de frango, ou as 3 de palmito. Como as empadas são indistinguíveis pela aparência, cada conjunto de 3 empadas é igualmente provável. Portanto, usamos combinação para contar.

Casos totais: número de maneiras de escolher 3 empadas entre 11:

C_{11,3} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165

Casos favoráveis:

3 de frango: $C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$
3 de palmito: $C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20$

Total favorável: $10 + 20 = 30$ .

Probabilidade:

P = \frac{30}{165} = \frac{2}{11} \approx 0,1818 = 18,18\%

A alternativa que mais se aproxima é a letra C (18%).

Empadas por recheio — só Frango: 5; só Palmito: 6; Frango∩Palmito: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

12% seria o resultado se você considerasse apenas as 3 de frango: $\frac{10}{165} \approx 6,06\%$ — não é isso. Ou, se você errasse ao calcular $\frac{20}{165} \approx 12,12\%$ , esquecendo de somar as 3 de frango. O erro aqui é não incluir o caso das 3 de palmito no numerador.

Alternativa B — ❌ Incorreta

15% não corresponde a nenhum cálculo direto. Se você usasse $\frac{25}{165} \approx 15,15\%$ , estaria somando 10 (frango) + 15 (um valor incorreto para palmito, talvez $C_{6,2}$ ou outro). O correto é somar $C_{5,3} + C_{6,3} = 10 + 20 = 30$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

18% é exatamente o valor de $\frac{30}{165} = \frac{2}{11} \approx 18,18\%$ . A conta: casos favoráveis = combinações de 3 frango (10) + combinações de 3 palmito (20) = 30; casos totais = combinações de 3 entre 11 (165). Probabilidade = 30/165 = 2/11 ≈ 18,18%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

21% seria o resultado se você usasse $\frac{35}{165} \approx 21,21\%$ , o que aconteceria se você somasse $C_{5,3} + C_{6,3}$ de forma errada (por exemplo, $C_{5,3} + C_{6,2} = 10 + 15 = 25$ , não 35) ou se confundisse o número de palmitos. O valor correto é 30/165.

Alternativa E — ❌ Incorreta

25% seria o resultado se você calculasse $\frac{41,25}{165}$ — não faz sentido. Ou, se você pensasse que a probabilidade de cada recheio é 50% e multiplicasse $0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 12,5\%$ (errado, pois as retiradas não são independentes). O valor correto é 18,18%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você esqueça de somar os dois casos favoráveis (3 frango OU 3 palmito). Muitos candidatos calculam apenas $\frac{C_{5,3}}{C_{11,3}} = \frac{10}{165} \approx 6\%$ e ficam sem alternativa, ou calculam $\frac{C_{6,3}}{C_{11,3}} = \frac{20}{165} \approx 12\%$ e marcam A. A pegadinha é exatamente essa: o evento "mesmo recheio" inclui os dois sabores, então você deve somar as combinações. Fique atento: sempre que o evento for "todos iguais", some as combinações de cada tipo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de retirada sem reposição em que a ordem não importa, use combinação ( $C_{n,k}$ ). Monte o espaço amostral com $C_{11,3}$ e o evento com a soma das combinações de cada categoria. Se o total de elementos é pequeno, você pode até listar, mas a combinação é mais rápida. Treine com questões de "bolas de mesma cor", "cartas do mesmo naipe" etc.

Gabarito: letra C