Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

Crescimento exponencial de bactérias

Gabarito: letra D — a cultura chega a aproximadamente 2 trilhões de bactérias às 19 horas. O crescimento é exponencial: a cada 20 minutos a população dobra, então em 12 horas (720 minutos) ocorrem 36 divisões, e a quantidade final é $30 \times 2^{36}$. Usando a aproximação $2^{10} \cong 10^3$, temos $2^{36} = 2^{30} \cdot 2^6 \cong (10^3)^3 \cdot 64 = 6{,}4 \times 10^{10}$, e multiplicando por 30 obtemos $1{,}92 \times 10^{12}$, ou seja, cerca de 2 trilhões.

O problema mistura um contexto biológico (divisão binária) com um modelo matemático de progressão geométrica. A cada ciclo de 20 minutos, cada bactéria se divide em duas, então a população total dobra. Isso é exatamente uma PG de razão 2: se começamos com $a_1 = 30$ bactérias, após $n$ divisões temos $a_{n+1} = 30 \cdot 2^n$.

O passo crítico é converter o tempo total em número de divisões. Das 7h às 19h são 12 horas, ou 720 minutos. Como cada divisão leva 20 minutos, o número de divisões é $720 \div 20 = 36$. Portanto, a população final é $30 \cdot 2^{36}$.

Agora vem a parte que exige cuidado com a aproximação fornecida. O enunciado dá $2^{10} \cong 10^3$. Para usar isso, decompomos o expoente 36 em múltiplos de 10:

Multiplicando pela população inicial:

$10^{12}$ é 1 trilhão, então $1{,}92 \times 10^{12}$ é aproximadamente 2 trilhões. A alternativa D é a correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a quantidade é de 2 bilhões. Isso corresponderia a $2 \times 10^9$, mas o cálculo correto dá $1{,}92 \times 10^{12}$, que é 1000 vezes maior. O erro aqui é subestimar o crescimento exponencial: em 36 divisões, a população cresce por um fator de $2^{36}$, que é da ordem de $10^{10}$, e não $10^7$ como seria necessário para chegar a bilhões.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma 20 bilhões ($2 \times 10^{10}$). Esse valor é 100 vezes menor que o correto. O candidato pode ter errado ao calcular o número de divisões (talvez usando 30 em vez de 36) ou ao aplicar a aproximação de forma incorreta, esquecendo de multiplicar por 30 no final.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma 200 bilhões ($2 \times 10^{11}$). Esse valor é 10 vezes menor que o correto. Pode ter havido um erro na decomposição do expoente: por exemplo, usar $2^{36} \cong 2 \times 10^{10}$ em vez de $6{,}4 \times 10^{10}$, ou esquecer de multiplicar por 30 corretamente.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto leva a $1{,}92 \times 10^{12}$, que é aproximadamente 2 trilhões. A alternativa D espelha exatamente esse resultado, mostrando que o candidato soube converter o tempo em número de divisões (36), aplicar a aproximação $2^{10} \cong 10^3$ e multiplicar pela população inicial de 30 bactérias.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma 20 trilhões ($2 \times 10^{13}$). Esse valor é 10 vezes maior que o correto. O erro provável é multiplicar por 300 em vez de 30, ou usar $2^{36} \cong 6{,}4 \times 10^{11}$ (erro de uma casa decimal) e depois multiplicar por 30, resultando em $1{,}92 \times 10^{13}$.

Gabarito: letra D