GabaritoD — 12;
Gabarito: letra D — o menor N que satisfaz as três condições é 57, cuja soma dos algarismos é 5 + 7 = 12. O problema é resolvido pelo Teorema Chinês dos Restos: como os restos são sempre 3 a menos que os divisores (4−1, 5−2, 6−3), N + 3 é múltiplo comum de 4, 5 e 6, e o menor valor é o MMC(4,5,6) − 3 = 60 − 3 = 57.
O enunciado descreve um sistema de congruências: N ≡ 1 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), N ≡ 3 (mod 6). A chave é perceber o padrão: em cada caso, o resto é exatamente o divisor menos 3. Isso significa que, se somarmos 3 a N, o resultado será divisível por 4, por 5 e por 6. Ou seja, N + 3 é múltiplo comum de 4, 5 e 6. O menor múltiplo comum positivo é o MMC(4,5,6) = 60. Portanto, o menor N possível é 60 − 3 = 57. Conferindo: 57 ÷ 4 = 14 com resto 1; 57 ÷ 5 = 11 com resto 2; 57 ÷ 6 = 9 com resto 3. A soma dos algarismos de 57 é 5 + 7 = 12.
A pegadinha clássica é tentar resolver por tentativa e erro ou esquecer de subtrair o 3 no final, obtendo 60 e marcando a alternativa C (soma 6). Outra armadilha é confundir o MMC com o MDC. O Teorema Chinês dos Restos garante que, quando os divisores são coprimos, existe uma única solução módulo o produto deles; aqui, como 4 e 6 não são coprimos, a solução é módulo o MMC, que é 60. O padrão "resto = divisor − k" é um atalho poderoso: se N ≡ −k (mod d) para vários d, então N + k é múltiplo de todos eles.
Soma 6 corresponderia a N = 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60... O menor que satisfaz as três condições é 57, não 6. O número 6, por exemplo, deixa resto 1 na divisão por 5 (6 = 1×5 + 1), não 2. A alternativa confunde o valor de N com a soma dos algarismos de outro número, ou usa o MMC diretamente sem subtrair 3.
Soma 8 corresponderia a N = 8, 17, 26, 35, 44, 53... Nenhum desses satisfaz as três condições (8 ÷ 5 deixa resto 3, não 2). O candidato pode ter chegado a N = 17 (que satisfaz as duas primeiras, mas não a terceira: 17 ÷ 6 = 2 com resto 5).
Soma 10 corresponderia a N = 19, 28, 37, 46, 55... O número 19 deixa resto 1 em 6 (19 = 3×6 + 1), não 3. O erro típico aqui é calcular o MMC(4,5,6) = 60 e, sem subtrair 3, obter soma 6 + 0 = 6 — mas isso não está nesta alternativa. Na verdade, a soma 10 pode vir de N = 55, que falha na condição do 4 (55 ÷ 4 = 13 com resto 3).
O menor N é 57, e 5 + 7 = 12. A resolução: N + 3 é múltiplo de 4, 5 e 6; o menor múltiplo comum é 60; logo N = 57. Verificação: 57 ÷ 4 = 14, resto 1; 57 ÷ 5 = 11, resto 2; 57 ÷ 6 = 9, resto 3. A soma dos algarismos é 12.
Soma 14 corresponderia a N = 59, 68, 77, 86, 95... O número 59 deixa resto 3 na divisão por 4 (59 = 14×4 + 3), não 1. O candidato pode ter somado os algarismos de 60 (6 + 0 = 6) e depois adicionado 8 por engano, ou ter encontrado N = 59 por tentativa errada.
A banca explora a pressa: o candidato calcula o MMC(4,5,6) = 60 e marca a soma 6 (alternativa A), esquecendo de subtrair 3. Outra armadilha é tentar resolver por tentativa e erro, perdendo tempo e errando. O padrão "resto = divisor − 3" é o atalho: some 3 a N e vire um problema de MMC. Com treino, você enxerga esse padrão de longe 💪.
Quando os restos forem todos iguais a uma constante negativa (aqui, −3), transforme em MMC. Se os restos forem diferentes, use o Teorema Chinês dos Restos: monte as congruências, resolva passo a passo e some os resultados. Na prova, verifique sempre o menor valor testando as três divisões — 30 segundos de conferência evitam erro bobo.
Gabarito: letra D
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