Raciocínio Lógico · FGV · 2025 | Questão sqc-fg124257

Probabilidade: Evento com velas em círculo

Gabarito: letra D. A probabilidade de que cada vela esteja acesa ou ao lado de pelo menos uma vela acesa é 91/243, obtida pela enumeração de todas as $2^5 = 32$ configurações possíveis, ponderadas pelas probabilidades individuais (cada vela tem $p = 1/3$ de ficar acesa e $q = 2/3$ de apagar), e contando apenas aquelas que satisfazem a condição: nenhuma vela apagada pode ter ambos os vizinhos também apagados (em círculo).

Método de resolução

Como as velas são independentes, a probabilidade de uma configuração com $k$ velas acesas é $(1/3)^k (2/3)^{5-k}$ . Listamos todas as combinações para $k = 0$ a $5$ e verificamos a condição de vizinhança circular.

$k$ (acesas)	Total de combinações	Combinações favoráveis	Probabilidade de cada combinação	Probabilidade favorável
0	1	0	$(2/3)^5 = 32/243$	0
1	5	0	$(1/3)(2/3)^4 = 16/243$	0
2	10	5 (não adjacentes)	$(1/3)^2(2/3)^3 = 8/243$	$40/243$
3	10	10 (todas)	$(1/3)^3(2/3)^2 = 4/243$	$40/243$
4	5	5 (todas)	$(1/3)^4(2/3)^1 = 2/243$	$10/243$
5	1	1 (todas)	$(1/3)^5 = 1/243$	$1/243$
Total	32	21		91/243

NÃO CAIA NESSA!

A banca testa a atenção ao arranjo em círculo. Se você tratar as velas como em linha reta (ignorando que a primeira e a última são vizinhas), a condição muda e você pode chegar a $64/81$ (alternativa C) — um erro comum. Sempre desenhe o círculo e verifique a vizinhança das extremidades.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

$17/81 = 51/243$ . Esse valor é bem menor que o correto. Não corresponde a nenhuma soma parcial do cálculo; provavelmente resulta de contar apenas alguns casos favoráveis (ex.: só $k=4$ e $k=5$ ).

Alternativa B — ❌ Incorreta

$32/81 = 96/243$ . Corresponde a $k=2$ apenas (se todas as 10 combinações fossem favoráveis) ou a um erro de soma.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$64/81 = 192/243$ . Esse valor é o complemento de $29/243$ ? Na verdade, é a probabilidade de não haver três velas consecutivas apagadas se o arranjo fosse linear (sem considerar o círculo). É uma distração clássica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$91/243$ é exatamente a soma das probabilidades favoráveis: $40/243 + 40/243 + 10/243 + 1/243 = 91/243$ , conforme tabela.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$152/243$ corresponde a $1 - 91/243 = 152/243$ , que é a probabilidade do evento complementar (pelo menos uma vela apagada isolada). Portanto, é o erro de quem inverte a pergunta.

PEGA ESSA DICA!

Monte uma tabela como a acima sempre que o espaço amostral for pequeno (até 32 casos). Liste $k$ (número de sucessos) e, para cada $k$ , desenhe mentalmente as posições no círculo. Confira a condição de vizinhança em todos os casos. Isso evita enganos.

Gabarito: letra D — $91/243$ .