Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FGV 2025
Raciocínio Lógico›Análise Combinatória em Raciocínio Lógico
Código
fg125693
Banca
FGV
Órgão
TCE-RR
Ano
2025
Nível
Superior
Os números 1, 2, 3 e 4 devem ser colocados cada um em um dos quadradinhos da figura abaixo (permanecendo dois quadradinhos vazios) de forma que, da esquerda para a direita, mantenham a ordem crescente.O número de maneiras diferentes em que os quatro números podem ser colocados da forma descrita acima é
A10.
B12.
C15.
D20.
E30.
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GabaritoC — 15.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 15 maneiras — alternativa C.
A ideia por trás
A análise combinatória conta de quantas formas podemos escolher ou ordenar elementos. Quando a ordem importa, usamos arranjo ou permutação; quando a ordem não importa, usamos combinação. Aqui, a ordem dos números é fixa — eles devem aparecer em ordem crescente —, então o que varia é apenas quais quadradinhos serão preenchidos.
A combinação simples C(n, p) = n! / (p! (n-p)!) conta quantos grupos de p elementos podemos formar a partir de n elementos, sem considerar a ordem dentro do grupo. Se a ordem fosse livre, usaríamos arranjo, que daria um número muito maior. Neste problema, como a ordem é imposta, cada escolha de 4 posições entre 6 gera exatamente uma configuração válida.
A questão pede para escolher 4 posições entre 6 disponíveis, pois a ordem crescente já determina qual número vai em cada posição escolhida. Portanto, a resposta é a combinação C(6,4).
O que a questão dá
6 quadradinhos na figura
4 números: 1, 2, 3 e 4
ordem crescente obrigatória da esquerda para a direita
O que queremos: o número de maneiras de colocar os números nos quadradinhos
Passo 1 — Perceber que a ordem é fixa
Antes de qualquer conta, precisamos entender o que varia. Como os números devem ficar em ordem crescente da esquerda para a direita, não podemos trocá-los de lugar: o 1 sempre virá antes do 2, que vem antes do 3, e assim por diante. Então, para cada conjunto de 4 quadradinhos escolhidos, só existe uma maneira de preencher: o menor número na posição mais à esquerda, o próximo na seguinte, etc.
NÃO CAIA NESSA!
Tentar usar arranjo ou permutação, contando as diferentes ordens dos números, o que daria um valor muito maior.
Passo 2 — Escolher 4 posições entre 6
Como a ordem é fixa, o problema se reduz a escolher quais 4 dos 6 quadradinhos serão preenchidos. Isso é exatamente uma combinação: não importa a ordem em que escolhemos as posições, apenas o conjunto delas.
Por que esta fórmula: A combinação C(n, p) conta de quantas maneiras podemos escolher p elementos de um total de n, sem considerar a ordem. Aqui, n = 6 (quadradinhos) e p = 4 (números a colocar).
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 quadradinhos · = enunciado: 4 números
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo A(6,4) = 6×5×4×3 = 360, contando ordens diferentes que não são permitidas.
Passo 3 — Calcular o fatorial
Agora precisamos calcular o valor da combinação. Fatorial de um número n é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Vamos calcular 6!, 4! e 2! para simplificar a fração.
Por que esta fórmula: A fórmula da combinação usa fatoriais. Precisamos calcular cada um para obter o número final.
De onde vem cada valor: = definição de fatorial · = definição de fatorial · = definição de fatorial
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de calcular 2! e usar apenas 24 no denominador, resultando em 30.
O número de maneiras diferentes em que os quatro números podem ser colocados da forma descrita acima é