GabaritoE — 2058.
Gabarito: letra E — a conta chega a E) 2058.
Um ano é 'sortudo' quando existe uma data no formato dd/mm/aaaa em que o produto do dia pelo mês é igual aos dois últimos dígitos do ano. Isso significa que o número formado pelos dois últimos dígitos deve poder ser decomposto em dois fatores que representem um dia (1 a 31) e um mês (1 a 12). A fatoração é a ferramenta: todo número inteiro pode ser escrito como produto de fatores primos, e a partir deles montamos pares de divisores. O ponto crítico é respeitar os limites: o mês não pode passar de 12, e o dia não pode passar de 31. Nesta questão, precisamos testar cada ano, fatorando o número de dois dígitos e verificando se existe um par de fatores que caiba nos limites de dia e mês.
anos: 2054, 2055, 2056, 2057, 2058
regra: dia × mês = dois últimos dígitos do ano
limites: dia entre 1 e 31, mês entre 1 e 12
O que queremos: o ano que não é sortudo
Começamos pelo primeiro ano, 2054. Precisamos ver se existe um par (dia, mês) cujo produto seja 54. Fatorar o número ajuda a encontrar todos os pares possíveis.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método para achar todos os divisores de um número. 54 = 2 × 3³, então os pares de divisores são (1,54), (2,27), (3,18), (6,9).
De onde vem cada valor: = enunciado: dois últimos dígitos de 2054
Esquecer que o mês não pode ser 54, 27 ou 18, pois o máximo é 12.
Dos pares encontrados, precisamos de um em que um fator seja mês (≤12) e o outro dia (≤31). O par (6,9) serve: 6 é mês e 9 é dia.
Achar que 54 = 2 × 27 serve, mas 27 não é mês.
Agora o ano 2055. O número é 55, que é 5 × 11. Ambos são menores que 12, então serve.
Por que esta fórmula: 55 é produto de dois primos: 5 e 11. Como 5 e 11 são ambos ≤12, um pode ser mês e o outro dia.
De onde vem cada valor: = enunciado: dois últimos dígitos de 2055
Nenhum erro comum, pois é direto.
Para 2056, o número é 56. Fatorando: 56 = 7 × 8. Ambos são ≤12, então serve.
Por que esta fórmula: 56 = 2³ × 7, mas o par mais simples é 7 e 8, ambos dentro dos limites.
De onde vem cada valor: = enunciado: dois últimos dígitos de 2056
Nenhum erro comum, pois é direto.
Para 2057, o número é 57. Fatorando: 57 = 3 × 19. O 3 é mês, o 19 é dia (≤31), então serve.
Por que esta fórmula: 57 = 3 × 19, e 19 é um dia válido.
De onde vem cada valor: = enunciado: dois últimos dígitos de 2057
Achar que 19 não serve por ser maior que 12, mas ele é o dia, não o mês.
Para 2058, o número é 58. Fatorando: 58 = 2 × 29. O 29 é maior que 12, então não pode ser mês. A outra ordem seria 29 × 2, mas 29 também não pode ser mês. Portanto, não há par válido.
Por que esta fórmula: 58 = 2 × 29, e 29 é maior que o limite de mês (12) e também maior que o limite de dia? Não, 29 é ≤31, mas como mês não pode, e como dia? Se 2 for mês, 29 é dia, mas 29 é dia válido? Sim, 29 é dia válido, mas o mês seria 2, que é válido. Então 2 × 29 = 58, com mês=2 e dia=29, isso é válido! Espere, 29 é dia, 2 é mês, então 29/2/2058 é uma data válida? 29 de fevereiro existe em anos bissextos, mas 2058 não é bissexto. Mas a questão não menciona bissexto, então devemos considerar que fevereiro tem 28 dias? Normalmente, em problemas de calendário, considera-se o calendário real, então 29/02 só existe em bissextos. Mas a questão não especifica, então talvez seja permitido? Vamos ver: o exemplo dado é 2/12/2024, que é 2 de dezembro, não há problema. Mas 29/02/2058 não existe, pois 2058 não é bissexto. Então não é válido. Mas a fatoração 58 = 2 × 29, se considerarmos mês=2 e dia=29, a data seria 29/02/2058, que não existe. Portanto, não é sortudo. Mas se a questão não considerar bissexto, então 29/02 não é válido. Então a resposta é E.
De onde vem cada valor: = enunciado: dois últimos dígitos de 2058
Achar que 2 × 29 serve, esquecendo que 29 de fevereiro não existe em ano não bissexto.
Resposta: E) 2058
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